Сопротивления симметричной трехфазной цепи для токов различных последовательностей

Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательностей, то в ней возникает симметричная система токов прямой (обратной или нулевой) последовательности. При использовании метода симметричных составляющих симметричные составляющие напряжений связаны с симметричными составляющими токов той же последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательности к соответствующим симметричным составляющим токов называется комплексным сопротивлением прямой , обратной и нулевой последовательностей.

 

3. Устойчивость цепей с ОС.

Рассмотрим систему с обратной связью с передаточной функцией К(р) и звеном обратной связи с передаточной функцией ß(р) и внешний входной сигнал не подается, т.е. U_вх(р)=0. Уравнение состояния: U_вых (p) = K(p)ß(p)U_вых(p) (1 - K(p)ß(p)) U_вых(p) = 0.

1 - K(p)ß(p)= 0. Для того, чтобы цепь с ОС была абсолютная устойчива, необходимо, чтобы корни этого уравнения имели отрицательные вещественные части, т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной частоты.

Алгебраические критерии устойчивости.

Основной элемент и элемент ОС являются цепями с сосредоточенными параметрами и запишем: K(p) = P₁(p)/Q₁(p); ß(p) = P₂(p)/Q₂(p) система с ОС будет устойчива, если все корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Полиномы Н(р) с такими свойствами называют полиномами Гурвица.

Критерий Рауса-Гурвица: чтобы уравнение a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₁p¹ + a₀ = 0 с вещественными коэффициентами имело корни лишь в левой полуплоскости переменной р, необходимо и достаточно, чтобы положительными были:

- коэффициенты a_n, a₀;

- определитель Рауса-Гурвица и все его главные:

Достоинство критерия Рауса-Гурвица – относительная простота вычислений, Недостаток: применяется только для цепей с сосредоточенными параметрами.

Геометрические (частотные) критерии устойчивости. Произведение w (p) = K(p)ß(p) есть не что иное, как передаточная функция каскадного соединения двух звеньев – основного и звена ОС и называется передаточной функцией системы с разомкнутой ОС и ее можно рассматривать как отображение комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость w. При этом корням р₁, р₂, …,р_n характеристического уравнения 1 - K(p)ß(p)= 0 в плоскости w будет соответствовать единственная точка w = 1. возможность самовозбуждения системы с ОС: если образ правой полуплоскости переменной р при отображении на плоскость w содержит точку w =!, то система с замкнутой ОС неустойчива.

 

22 БИЛЕТ

1. Законы Кирхгофа в линейных цепях.

Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая (с учётом знаков) сумма токов для любого узла равна нулю, т.е. сколько токов в узел «втекает» (они берутся со знаком «+»), столько же и вытекает (они берутся со знаком «-«); или же сумма токов источников тока равна сумме токов, протекающих через пассивные элементы:

.

Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма падений напряжений на элементах в любом контуре равна нулю; или алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах:

.

При суммировании e(t) и падения напряжения берутся с ‘+’, если их направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, а со знаком ‘-’ – если не совпадают.

 

2. Мощность трехфазных цепей.

Мгновенная мощность трехфазного источника равна сумме мгновенных мощностей каждой из фаз:

.

Среднее за период значение, т.е. активная мощность также равна сумме активных мощностей отдельных фаз:

Аналогично для приемников энергии определяется:

активная: ;

реактивная: ;

полная:

При этом для симметричных трехфазных приемников:

активная: ;

реактивная:

Поскольку за номинальные величины обычно принимают линейные значения напряжений и токов U_Л и I_Л, то мощности удобнее выражать через них:

для соединения эвездой: ; ;

для соединения треугольником: ; .

Поэтому, независимо от схемы соединения фаз симметричного приемника,

активная мощность: ;

реактивная мощность: ;

полная:

 

3. Операционный усилитель.

Операционный усилитель– усилительное устройство с большим коэффициентом усиления К₀ в широкой полосе частот, начиная с нулевой. Входное сопротивление ОУ → ∞, а выходное сопротивление → 0; тогда i_vx → 0. Коэффициент усиления ОУ составляет около 10⁴-10⁵. Микросхемы ОУ имеют два входа: инвертирующий (-) и неинвертирующий (+). Если и_вх1 и и_вх2 – напряжения на неинвертирующем и инвертирующем входе соответственно, то выходное напряжение: и_вых = К_о (и_вх1 - и_вх2).

Устойчивость систем с ОУ. Рассмотрим систему, в которой выход ОУ соединен с неинвертирующим входом через резистор R. Пусть С_п – паразитная емкость входа усилителя. 1 + pRC_п =K₀ p = (K₀ – 1)/(RC_n). При К₀ > 1 система неустойчива; напряжения в схеме будут нарастать во времени по закону exp((K₀ – 1)t/(RC_n)) для того, чтобы система была устойчивой, необходимо выход ОУ через резистор соединить с инвертирующим входом

23 БИЛЕТ

1. Закон Ома для участка цепи с ЭДС.

Закон Ома устанавливает взаимосвязь тока, напряжения и сопротивления (проводимости) для любого элемента электрической цепи. Так, для мгновенных значений напряжения и тока на резистивном элементе он имеет вид: .

1. Реальный источник напряжения

По 2-му закону Кирхгофа для контура и закону Ома:

; - определяет напряжение на резисторе для последовательной схемы замещения РИН.

2. Реальный источник тока

По первому закону Кирхгофа для узла 1:

; - определяет напряжение на резисторе для параллельной схемы замещения реального источника тока (РИТ).

Если принять за положительное направление тока от точки а к точке б, то , и потенциал точки б определится как: ; E= ЭДС;

Тогда ток для этого участка:

- закон Ома для участка цепи с произвольным количеством ЭДС и сопротивлений. При этом, если в результате вычислений получается отрицательное значение для тока, то это значит, что действительное его направление противоположно выбранному.

 

2. Простейшие разрывные функции и их свойства.

1. Функция включения. Функция Хэвисайда. Единичный скачок.

Исходной для получения этой функции является функция вида:

 

Рассматривая предельный переход при , получим функцию включения:

Обозначается как .

Функция включения используется для описания моментов резкого (или мгновенного) включения или выключения односторонних или ограниченных во времени сигналов. Она может быть задана относительно любого момента времени, т.е. справедлива при любом временном сдвиге:

.

2. Дельта – функция.

В качестве исходного для дельта-функции используется импульсный сигнал прямоугольной формы с единичной площадью,

который может быть описан при помощи функции включения следующим образом:

;

при этом: .

Рассматривая предельный переход при , получим и определение дельта-функции:

 

 

 

дельта-функция сосредоточена в одной точке пространства и ее задание справедливо при любом временном сдвиге.

δ-функция представляет собой импульс с бесконечно большой амплитудой, бесконечно малой длительностью и единичной площадью.

Основное свойство δ-функции – «фильтрующее свойство»:

.

Поскольку дельта-функция сосредоточена в одной точке х и равна 0 на всей остальной оси времени, то пределы интегрирования можно свести к малой окрестности этой точки. Тогда подынтегральное выражение будет равно 1 в силу условия единичной площади дельта-функции.

Таким образом, δ-функция «отфильтровывает» значение любой функции в той точке, в которой она существует.

Между функцией включения и δ-функцией существует однозначная связь:

.В силу фильтрующего свойства: ;

где АЧХ = 1, а ФЧХ определяется положением дельта-функции на оси времени и равен произведению wx.

 

3. Принцип построения активных RC-фильтров.

Принцип создания активного фильтра на базе ОУ заключается в следующем

Пассивная часть устройства представлена в виде шестиполюсника из элементов R и С. Для нахождении передаточной функции данной системы составим Y-матрицу:

I₁ = Y₁₁U₁ + Y₁₂U₂ + Y₁₃U₃,

I₂ = Y₂₁U₁ + Y₂₂U₂ + Y₂₃U₃,

I₃ = Y₃₁U₁ + Y₃₂U₂ + Y₃₃U₃ .

Если К₀ – коэффициент усиления ОУ, то U₃ = - K₀ U₂. Входная цепь ОУ не потребляет тока (R_vx → ∞, I₂ = 0)

при К₀ >> 1,то K(p) = - Y₂₁ /Y₂₃.

Передаточная функция активного RC-фильтра зависит от свойств пассивной цепи; коэффициент усиления ОУ и другие его параметры на окончательный результат не влияют. Поэтому создание систем с различными частотными характеристиками сводится к синтезу пассивных RC-цепей по заданным частотным характеристикам.

передаточная функция которого определяется по формуле:

Задача синтеза сводится к подбору проводимостей элементов, которые обеспечивают требуемый вид частотной характеристики. По исходному условию все проводимости Y₁-Y₅ являются либо резисторами, либо конденсаторами с проводимостями Ср. Сопоставляя данную передаточную функцию с классическим видом передаточной функции колебательного звена 2-го порядка, можно определить, что элементы Y₁, Y₃, Y₄ должны быть резисторами, а Y₂ и Y₅ – конденсаторами:

Полюсы передаточной функции при этом будут располагаться в точках:

 

24 БИЛЕТ

1. Правила делителей напряжения и тока.

правило делителя напряжения:отношение напряжения на элементах цепи равно отношению сопротивлений на этих элементах;

правило делителя тока для параллельной цепи: отношение токов в параллельных ветвях равно отношению проводимостей этих ветвей.

, ; ();

ток в одной из двух параллельных ветвей равен произведению тока источника на сопротивление противоположной ветви, делённому на сумму сопротивлений этих ветвей.

 

2. Линейные стационарные системы и их математические модели.

В структуре любой электронной системы или устройства всегда можно выделить вход, предназначенный для подачи исходных сигналов, и выход, откуда преобразованные сигналы поступают для дальнейшего использования. Более общим случаем является представление входного сигнала в виде m-мерного, а выходного – в виде n-мерного векторов:

U _вх(t) = {u_{вх 1}(t), u_{вх 2}(t),..., u_{вх m}(t)},

U _вых(t) = {u_{вых 1}(t), u_{вых 2}(t),..., u_{вых n}(t)}.

Закон связи между входным и выходным сигналами можно задать посредством системного оператора Т, результатом действия которого на входной сигнал U _вх(t) служит выходной U _вых(t): U _вых(t)=Т U _вх(t).

также область D_вх некоторого функционального пространства, которая называется областью допустимых входных воздействий. Задание этой области сводится к определению характера входных сигналов (непрерывных или дискретных, детерминированных или случайных). Аналогично должна быть указана область D_вых допустимых выходных сигналов.

Математической моделью физической системы называется совокупность системного оператора Т и двух областей допустимых сигналов D_вх и D_вых. Система называется стационарной, если ее выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал, т.е. U _вых(t ± t₀) = T U _вх(t ± t₀) и соответствует линейным цепям с постоянными параметрами.

 

3. Задача оптимальной фильтрации. Отношение сигнал/шум.

Одной из основных проблем теории согласованной фильтрации является задача синтеза фильтра, оптимального в определенном смысле для приема заданного сигнала, действующего на фоне помехи с заданными статистическими характеристиками.

Для обнаружения сигналов в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-помеха на выходе фильтра.

Требования к фильтру: На вход линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией подается аддитивная смесь сигнала s(t) и шума n(t). Сигнал полностью известен (заданы его форма и положение на оси времени). Шум представляет собой случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. Нужно синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. Чтобы выделить полезный сигнал, искаженный наличием шума, можно прибегнуть к частотной фильтрации. Пусть частотный коэффициент передачи Κ(jω) линейного стационарного фильтра выбран так, что значения величины АЧХ - | Κ(jω) | - велики в области частот, где сконцентрирована основная доля энергии сигнала, и малы там, где велика спектральная плотность мощности шума. Подав на вход такого фильтра сумму сигнала и шума, на выходе можно получить заметное увеличение относительной доли полезного сигнала.

Отношение сигнал/шум.

На входе линейного фильтра присутствует входной сигнал u_вх (t) = s_вх (t) + n_вх (t),являющийся суммой полезного сигнала.

отношение сигнал/шум на входе фильтра:Q_вх = <s_вх²>/σ_nвх²,где <s_вх²> - средний квадрат полезного сигнала; σ²_вх - дисперсия входного шума.

Или Безразмерное число Q_вх характеризует уровень сигнала по отношению к уровню шума весьма приближенно.

Линейный фильтр подчиняется принципу суперпозиции и создают на выходе сигнал u_вых (t) = s_вых (t) + n_вых (t) со средним квадратом <u_вых²> = < s_вых² > + σ_nвых²,

Это дает возможность ввести отношение сигнал/шум на выходе фильтра в квадратичной форме: Q_вых = <s_вых²>/σ_nвых² или в виде отношения средних значений в любой момент времени t₀:

В ыигрыш фильтра по отношению сигнал/шум: M_ф = Q_{вых /} Q_вх

если М_ф > 1, то повышение относительного уровня полезного сигнала на выходе.

 

25 БИЛЕТ

1. Эквивалентные преобразования линейных электрических цепей.

основные эквивалентные преобразования:

1. РИН ↔РИТ.

условие эквивалентности: .

При этом идеальные источники напряжения и тока не взаимозаменяемы.

2. Замена нескольких последовательно соединённых элементов одним эквивалентным:

При этом , где .

3. Замена нескольких параллельно соединённых сопротивлений (проводимостей) одним эквивалентным:

При этом .

4. Замена нескольких последовательно соединённых источников напряжения (РИН) и их внутренних сопротивлений:

При этом эквивалентные значения будут равны сумме (с учетом направлений ЭДС):

.

5. Замена параллельного соединения нескольких источников тока (РИТ) и их проводимостей одним эквивалентным:

Результирующие значения также будут суммироваться с учетом направлений токов:

.

6. Замена нескольких параллельно соединённых реальных источников напряжения одним эквивалентным источником тока.

7. Замена нескольких последовательно соединённых реальных источников тока одним эквивалентным РИН.

8. Взаимные преобразования треугольника и звезды:

При этом: ; ; ;

 

И ; ; .

Если в узлах «звезды» , то в ветвях «треугольника»:

 

2. Импульсная характеристика линейной стационарной системы. Интеграл Дюамеля.

импульсной характеристикой системы называется функция h(t), являющаяся откликом системы на входной сигнал вида d(t), т.е. h(t) удовлетворяет следующему уравнению:

h(t) = T d(t).

при смещении входного воздействия во времени на t₀:

h(t - t₀) = T d(t - t₀).

C физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временем установления стационарного состояния системы.

Интеграл Дюамеля. В силу фильтрующего свойства дельта-функции сигнал всегда может быть представлен следующим образом: Тогда отвечающая ему выходная реакция: интеграл Дюамеля и является основной формулой временного метода анализа систем.

Парциальные импульсные характеристики h_ij(t) (i = 1,2,.., n; j = 1,2,.., m), каждая из которых отображает сигнал на i-ом выходе при подаче на j-ый вход дельта-функции. Совокупность функций h_ij(t) образует матрицу импульсных характеристик:

Формула интеграла Дюамеля в многомерном случае приобретает вид: где U _вых(t) – n-мерный вектор, U _вх(t) – m-мерный вектор.

Условие физической реализуемости. Для любых видов импульсных характеристик физически реализуемых систем всегда должен выполняться важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента подачи сигнала на вход. Изложенный принцип накладывает очень простое ограничение на вид допустимых импульсных характеристик: h(t) = 0 при t < 0.

Для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен на текущее значение времени: физический смысл: линейная стационарная система производит операцию взвешенного суммирования всех мгновенных значений сигнала, поступивших на вход и существовавших «в прошлом» при -¥ < t < t. Роль весовой функции при этом выполняет импульсная характеристика системы. Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах не способна оперировать с информацией, заключенной в «будущих» значениях сигнала.

 

3. Критерий оптимальности линейного частотного фильтра.

оптимальным линейным фильтром -частотно-избирательная система, выполняющая обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом.

Зафиксируем некоторый произвольный момент времени t₀ и выберим значения функции h(t), чтобы величина |s_вых(t₀)| достигла максимального возможного значения. Если такая функция действительно существует, то отвечающий ей линейный фильтр называют фильтром, согласованным с заданным входным сигналом или согласованным фильтром.

Отклик на выходе фильтра, подлежащий максимизации по модулю:s_вых(t₀) = ∫ s_вх(τ) h(t₀ - τ) dτ.

На основании неравенства Коши-Буняковского для двух любых произвольных функций

Знак равенства, т.е. максимальное значение выходного сигнала, имеет место тогда, когда сомножители в подынтегальном выражении пропорциональны друг другу:h(t₀ – τ) = ks_вх(τ), где k - произвольный коэффициент.

Выполняем формальную замену переменной t = t₀ - τ, получим h_согл (t) = k s_вх(t₀ - t).

Импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, которая располагается в зеркальном порядке вдоль оси времени. Помимо этого, импульсная характеристика согласованного фильтра смещена относительно входного сигнала s_вх(-t) на отрезок t₀.

Построение импульсной характеристики согласованного фильтра

необходимое условие физической реализуемости согласованного фильтра: промежуток t₀ между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса, т.е. t₀ ≥ τ_и. В противном случае импульсная характеристика системы была бы отличной от нуля при t < 0, т. е. до момента поступления дельта-импульса на вход фильтра.

 

26 БИЛЕТ

1. Метод наложения.

Метод наложения основан на принципе суперпозиции: в линейной цепи реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие.

Метод наложения можно сформулировать следующим образом: ток или напряжение в i-ой ветви равен алгебраической сумме токов или напряжений, создаваемых каждым источником в отдельности, при условии, что все остальные источники заменены своими внутренними сопротивлениями. Рассмотрим данный метод на примере следующей цепи.

где i₁₁, i₂₁, i₃₁ – частичные токи от источника Е₁(вторая цифра указывает на источник); при R=∞ (разрыв цепи) и R=0 (короткое замыкание). Частичные токи, используя закон Ома и три частные схемы замещения, учитывающие замены источников их внутренними сопротивлениями=:

Так, для источника Е₁:

; ; ; где ; i₁₁ – общий ток источника; используем закон Ома и правило делителя тока.

 

Для источника тока I:

 

; ;

; где

При этом знаки i₂₂ и i₃₂ берутся со знаком «-«, так как направление источника I противоположно выбранному направлению этих токов.

Для источника Е₂:

; ;

;

Метод наложения является очень громоздким и этот метод не применим для расчета мощностей элементов, т.к. , а квадраты есть нелинейная зависимость.

 

2. Переходная характеристика линейной системы и ее связь с импульсной.

Переходная характеристика. Выходную реакцию g(t) = T s(t) принято называть переходной характеристикой системы. Поскольку рассматриваемая система стационарна, то переходная характеристика инвариантна относительно временного сдвига: g(t - t₀) = T s(t - t₀).

Принципы физической реализуемости, изложенные для дельта-функции и импульсной характеристики, однозначно должны выполняться и для функции Хевисайда и переходной характеристики. Поэтому последняя отлична от нуля лишь при t ≥ 0, т.е. g(t) = 0 при t<0.

Между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь. Действительно, поскольку дельта-функция является производной от функции Хевисайда, то на основании определения импульсной характеристики h(t) = T d(t),

Оператор дифференцирования d/dt и линейный стационарный оператор Т могут меняться местами, и поэтому или

 

3. Согласованный линейный фильтр.

Пусть u_вх(t) – некоторый входной сигнал, в общем случае не совпадающий с сигналом s_вх(t), по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным. Отклик фильтра на данное входное воздействие (интегрирование при этом проводится в пределах ]-∞; ∞[:

u_вых = ∫ u_вх(τ) h_согл(t - τ) dτ = k ∫ u_вх(τ) s_вх[t₀ - (t - τ)] dτ = k ∫ u_вх(τ) s_вх[τ - (t - t₀)] dτ. (24)

Интеграл представляет собой взаимокорреляционную функцию сигналов u_вх(t) и s_вх(t): u_вых (t) = k B_us(t – t₀).

В момент времени t₀ мгновенное значение выходного сигнала с точностью до коэффициента пропорциональности оказывается равным скалярному произведению обоих сигналов: u_вых(t₀) = k ∫ u_вх(τ) s_вх(τ)dτ.

Предположим, что на входе фильтра u_вх(t) = s_вх(t), т.е. присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован. Из формулы (25) следует, что в этом случае s_вых (t) = k B_s(t – t₀), т.е. выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой во времени на отрезок t₀.

 

– Построение сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом: а – сигнал на входе; б – его автокорреляционная функция; в – сигнал на выходе для случая, когда максимум выходного колебания достигается в момент окончания импульса на входе.

 

27 БИЛЕТ

1. Метод эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного источника позволяет определить ток в одной из ветвей (или нагрузке) в соответствии с принципом компенсации, согласно которому любой пассивный участок цепи (ветвь или ее часть) может быть заменен источником ЭДС с тем же напряжением; а любая ветвь с известным током – источником тока с таким же значением. Любую сложную активную электрическую цепь в произвольных точках подключения нагрузки a,b можно заменить простой схемой эквивалентного источника напряжения с параметрами (напряжение холостого хода), (внутреннее сопротивление) или эквивалентного источника тока с параметрами (ток короткого замыкания) и R_ab.

Параметры эквивалентных источников определяются:

1. – напряжение в точках эквивалентного преобразования a и b при отключении нагрузки в этих точках;

. - ток в точках эквивалентного преобразования a и b при замыкании;

3. - сопротивление цепи в точках a и b при условии замены всех источников их внутренними сопротивлениями.

Суть метода: к ветви, в которой необходимо определить ток или напряжение, в точках a и b подключается схема эквивалентного источника тока или напряжения с заранее определенными параметрами. Для нее используются правила делителей тока и напряжения, закон Ома.

1. Решение методом эквивалентного источника напряжения

Чтобы найти и , временно удалим . Для оставшейся схемы по методу наложения получим: = + + - как сумму частичных напряжений от каждого источника. Тогда:

Для источника Е₁ по правилу делителя напряжения для последовательной схемы:

Для источника I по закону Ома для параллельной схемы

 

 

Для источника Е₂, поскольку в этой схеме ток через R₁ и R₂ не протекает:

 

 

Внутреннее сопротивление определится как:

 

 

 

из простой схемы с эквивалентным источником напряжения искомый ток по закону Ома можно определить как:

 

2. Решение методом эквивалентного источника тока

Сопротивление определится так же, как и в первом случае. Параметр по методу наложения можно определить как сумму частичных токов от всех источников: = + + .Тогда, используя те же схемы замещения для трех источников, получим: ; ; .по правилу делителя тока из простой схемы замещения с эквивалентным источником тока:

.

любую часть активной линейной цепи можно заменить эквивалентным источником ЭДС с = или источником тока с = . Этот метод наиболее эффективен в сравнении с другими в случае, когда необходимо провести не общий, а частичный анализ цепи, связанный с определением тока в одной из ветвей при изменении её ЭДС и/или сопротивления.

 

2. Частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы.

Если заданный входной сигнал после преобразования системой остается неизменным с точностью до некоторо