К системе автоматического управления предъявляется ряд требований с точки зрения качества переходных процессов. При этом одним из важнейших показателей качества является устойчивость, которая характеризует работоспособность системы: неустойчивая система работать не будет, и нет смысла создавать такую систему.
Рассмотрим интерпретацию понятия устойчивости на механических системах. Предположим, что система представляет собой впадину, на дне которой располагается шар в неподвижном состоянии. Переместим шар с помощью некоторого усилия F по поверхности впадины и в некоторой точке это усилие уберем. Шар начнет скатываться вниз и после нескольких колебаний успокоится в своем первоначальном состоянии. О такой системе говорят, что она устойчива.
Предположим теперь систему, представляющую собой перевернутую впадину и на её вершине расположим шар. Переместим шар с помощью некоторого усилия F по поверхности и в некоторой точке это усилие уберем. Шар начнет скатываться вниз и уже не сможет возвратиться в свое первоначальное состояние. О такой системе говорят, что она неустойчивая.
Если шар расположить на плоской поверхности и переместить его с помощью некоторого усилия F по поверхности и в некоторой точке это усилие убрать, то шар остановится в момент прекращения действия усилия. О такой системе говорят, что она нейтрально-устойчивая (рис. 8.1).
Если система представляет подвешенный маятник, то при выводе её из состояния покоя маятник будет совершать незатухающие колебания (при условии, что трение отсутствует). О такой системе говорят, что она находится на границе устойчивости.
Таким образом, под устойчивостью понимают способность системы возвращаться в исходное состояние после снятия возмущающего воздействия. В линейных АСУ устойчивость не зависит от величины входного воздействия и определяется только ее внутренними свойствами. Поэтому справедливо утверждение: если автоматическая система устойчива в малом, то она устойчива и в большом.
Рисунок 8.1 – Различные состояния механической системы
Об устойчивости АСУ судят по форме переходного процесса. Возможный вид переходного процесса показан на рисунке 8.2.
Рисунок 8.2 – Возможный характер переходных процессов в АСУ
1 – апериодический переходный процесс в устойчивой АСУ; 2 - апериодический переходный процесс в устойчивой АСУ; 3 – процесс регулирования в АСУ, которая находится на границе устойчивости; 4 – апериодический переходный процесс в неустойчивой АСУ; 5 - колебательный переходный процесс в неустойчивой АСУ.
Алгебраическими называются такие критерии устойчивости, которые позволяют вынести суждение об устойчивости системы путем вычислений, производимых над коэффициентами ее характеристического уравнения. Из алгебраических критериев устойчивости наибольшее распространение получил критерий Рауса - Гурвица. В разной форме он был предложен сначала английским математиком Е. Раусом (Routh), а затем швейцарским математиком А. Гурвицем (Hurwitz) в конце XIX века.
Приведем формулировку критерия Рауса - Гурвица. Для того чтобы динамическая система была устойчива (т.е. чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости s), необходимо и
достаточно, чтобы при an > 0 определитель Рауса - Гурвица и все его диагональные миноры были больше нуля.
Таким образом, критерий Рауса - Гурвица позволяет судить о положении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости s, а следовательно, об устойчивости системы, не решая характеристического уравнения.
Правило составления главного определителя Рауса - Гурвица, имеющего n строк и n столбцов, где n - порядок характеристического уравнения, состоит в следующем:
1) сначала заполняется главная диагональ определителя, начиная с коэффициента an-1
изаканчивая коэффициентом a0;
2)затем заполняются остальные места в строках матрицы таким образом:
-индексы коэффициентов в строке определяются относительно индекса коэффициента, находящегося на главной диагонали. Индексы коэффициентов, стоящих слева от него, последовательно убывают, а стоящих справа, возрастают, причем также используется индекс n;
-все недостающие коэффициенты, т.е. коэффициенты с индексами, большими n или меньшими нуля, заменяются нулями.