МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Общие принципы расчета на действие внешней нагрузки
Матрица жесткости произвольного
Конечного элемента
(1)
Z (x, y, z) = F (x, y, z) f s, (2)
Z g = A f s (3)
f s = A -1 Z g (4)
σ = Cε (5)
ε = ε (x, y, z) = B (x, y, z) f s = B f s (6)
При 
, (7)
. (8)
Z 0 g = L (x, y, z) f s = L f s (9)
(10)
R 0 g = k с Z 01 g (11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Из T 1 – T 2 = U:
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
. (23)
Общий ход расчета методом перемещений
1. 
(24)
(25)
2. Возможная работа узловых сил
, где 
,
Так как 
то из условия А уз= Aq получим
(26)
3. KZ + R = 0 (27)
4. S g у = rg a g Z (28)
S g = S g у + S 0= rg a g Z + S 0(29 )
5. 
(30)
6. 
(31)
Рамы и балки
На упругом основании
Общие положения
– на осадку
(32)
– на сдвиг
(33)
(34)
Матрицы жесткости конечных
Элементов
КЭ с четырьмя степенями свободы
(35)
(36)
(37)
Тогда 
(38)
(39)
(40)
Тогда 
(41)
Реакции упругого основания
(42)
(43)
(44)
(45)
КЭ с тремя степенями свободы
(46)
(47)
Тогда
(48)
(49)
(50)
Рациональный размер конечного элемента
где 
- линейная характеристика балки на упругом основании
Учет односторонней связи с основанием
КЭ с четырьмя степенями свободы
(51)
КЭ с тремя степенями свободы
(52)
Общий алгоритм расчета
–без учета односторонней связи
(53)
–с учетом односторонней связи
(54)
Пример 1.
k 0 = 32000 кН/м3; b = 1,25 м; EI = 2,56∙106 кН∙м2
Принимаем длину конечных элементов l =4,0 м. Тогда величина α l = 0,25∙4 = 1
1. Исходные матрицы
2. Решение 
3. Определим усилия в сечении k второго КЭ в точке приложения силы F =100 кН.
Реакция упругого основания
r (x) = k 0∙ b ∙ w = 19,172 +5,38 x – 0,486 x 2 + 0,028 x 3.
4. Учет односторонней связи балки с упругим основанием.
r (x) = k 0∙ b ∙ w = 14,136 +7,332– 0,639 x 2 + 0,0295 x 3.
Преобразованные матрицы жесткости
Пример 2.
k 0 = 26000 кН/м3; b = 1,0 м; EI = 0,2∙106 кН∙м2.
Принимаем размер КЭ l = 2,0 м.
Тогда величина α l = 0,42∙2 = 0,84 находится в допустимых пределах
1. Исходные матрицы.
2. Решение
3. Экстремальное значение изгибающего момента в пределах элемента 4.
откуда x = 0,129 м.
Тогда
Прямоугольные плиты на упругом основании
Общие положения и составление системы разрешающих
Уравнений
Железобетонные плиты на упругом основании являются одним из наиболее важных конструктивных элементов промышленного, гражданского, гидротехнического и дорожного строительства, и поэтому необходимость наиболее точно отразить их напряженно – деформированное состояние является важной задачей теории сооружений.
В данном разделе рассмотрим расчет тонких плит, для которых справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява. Материал плит считается идеально упругим и ортотропным.
При использовании МКЭ прямоугольная плита разбивается на ряд прямоугольных КЭ (рис. 8.12, а), соединенных между собой в узлах. При использовании метода перемещений в каждый узел полученной дискретной расчетной схемы вводятся дополнительные связи, припятствующие смещениям в трех направлениях: углам поворота в направлении координатных осей и вертикальному перемещению перпендикулярно срединной поверхности плиты (рис. 8.12, б). Углом поворота в плоскости плиты пренебрегают. Следовательно, состояние любого узла n КЭ (рис. 8.13) может быть характеризовано тремя узловыми силами и темя перемещениями:
(8.57)
Таким образом, матрица жесткости такого элемента будет 12-го порядка, и ее удобно представить в блочной форме:
(8.58)
или в краткой форме для КЭ
Sg = r g Z g. (8.59)
Представление матрицы жесткости в блочной форме позволяет отказаться от использования единого матричного алгоритма при составлении системы разрешающих уравнений. Использование матричного алгоритма не всегда удобно, так как матрицы преобразования деформаций, входящие в выражение (8.31), содержат большое число нулей (см. примеры 8.2 и 8.3), что излишне загромождает память ЭВМ при их использовании. Поэтому при составлении системы уравнений метода перемещений удобнее использовать блочный принцип.
Предположим, что все перемещения находятся в единой системе координат, которая в общем случае может не совпадать с направлениями координатных осей, принятых для отдельных элементов. Обозначим перемещения узлов и узловых сил в общей системе координат как Z n * и S n *. Для плит эти матрицы будут трехмерными [см. (8.57)]. Чтобы перейти к составлению матрицы K (8.27), для каждого элемента вводятся матрицы преобразования координат, с помощью которых матрицы Z n и S n заменяются матрицами Z n * и S n *. Например, для узла i S i = a i S i *, Z i = a i Z i *. В случае совпадения единой системы координат с системами координат отдельных элементов матрицы преобразования координат будут единичными.
Значения Z n и S n, выраженные через Z n * и S n *, подставляются в в (8.58), например, для первой строки:
или после умножения слева на 
,
(8.60)
где выражения в скобках являются блоками матрицы K, составляемой для общей системы координат.
Рассмотрим часть области плиты, поделенной на прямоугольные конечные элементы (рис. 8.14), и составим уравнение равновесия для узла n:
(8.61)
где R n – матрица свободных членов для узла n.
Подставив выражения для S * на основании (8.60) в (8.61), получим:
(8.62)
На основании совместности деформаций в узлах дискретной схемы плиты для узла n (см. рис. 8.14)
(8.63)
Подставив (8.63) в (8.62) получим:
(8.64)
где выражения в круглых скобках
(8.65)
Уравнения типа (8.64) составляются для каждого узла: результатом объединения этих уравнений является выражение (8.27).
При совпадении местных систем координат, принятых для каждого отдельного элемента, с общей системой матрицы преобразования координат будут единичными и тогда 
В этом случае блоки матриц жесткости можно сразу (без преобразования) из (8.58) подставлять в (8.64).
Граничные условия для расчетной схемы учитываются при составлении блоков матриц усилий и перемещений (см. 8.57), определяемых для каждого граничного элемента.
Матрица жесткости прямоугольного элемента плиты
Для выражения поверхности прогиба примем бикубический полином, удовлетворяющий однородному дифференциальному уравнению изгибаемой плиты при отсутствии упругого основания:
(8.66)
Полином (8.66) используется почти во всех работах, посвященных расчету тонких плит МКЭ. Это объясняется тем, что он дает достаточно точные результаты, особенно при решении задач прочности, хотя и допускает разрыв деформаций в углах поворота между смежными элементами.
Выражения для прогибов и углов поворота согласно (8.57) примут вид:
(8.67)
Подставив в матрицу L (8.67) координаты узлов конечного элемента (см. рис. 8.13), получим матрицу А коэффициентов при f s (8.3). Обращение этой матрицы дает A -1 (табл. 8.1):
Таблица 8.1
Матрица параметров fs для прямоугольного КЭ
| A-1 | = | ||||||||||||
| –3/ a 2 | –2/ a | 3/ a 2 | –1/ a | ||||||||||
| –3/ b 2 | –2/ b | 3/ b 2 | –1/ b | ||||||||||
| –1/ ab | –1/ b | –1/ a | 1/ ab | 1/ a | –1/ ab | 1/ ab | 1/ b | ||||||
| 3/ a 2 b | 2/ ab | –3/ a 2 b | 1/ ab | 3/ a 2 b | –1/ ab | –3/ a 2 b | –2/ ab | ||||||
| 3/ ab 2 | 2/ ab | –3/ ab 2 | –2/ ab | 3/ ab 2 | –1/ ab | –3/ ab 2 | 1/ ab | ||||||
| 2/ a 3 | 1/ a 2 | –2/ a 3 | 1/ a 2 | ||||||||||
| 2/ b 3 | 1/ b 2 | –2/ b 3 | 1/ b 2 | ||||||||||
| –2/ a 3 b | –1/ a 2 b | 2/ a 3 b | –1/ a 2 b | –2/ a 3 b | 1/ a 2 b | 2/ a 3 b | 1/ a 2 b | ||||||
| –2/ ab 3 | –1/ ab 2 | 2/ ab 3 | 1/ ab 2 | –2/ ab 3 | 1/ ab 2 | 2/ ab 3 | –1/ ab 2 |
Выражения для вторых производных от w получим из (8.67):
(8.68)
Матрица жесткости С (8.5) для бесконечного малого элемента в случае изгиба тонких ортотропных плит дает соотношения между изгибающими моментами и деформациями плиты:
(8.69)
где Dx = Exh 3/(12ν) – изгибная жесткость плиты в направлении оси x;
Dy = Eyh 3/(12ν) – изгибная жесткость плиты в направлении оси y;
Dk = Gh 3/6 – жесткость при кручении; μ xDx = μ yDy = D μ; ν = 1– μ x μ y.
На основании принятой модели упругого основания [см. (8.32) и (8.33)] реакции упругого основания в матричной форме имеют вид:
(8.70)
где
(8.71)
Подставляя матрицы L (8.67), A -1 (табл. 8.1), В (8.68), С (8.69), k (8.70) и L 0 (8.71) в выражения (8.19) и (8.20) и интегрируя в пределах от 0 до а в направлении оси x и от 0 до b в направлении оси y, получим в общем виде: 
–матрицу жесткости собственно конечного элемента, учитывающую его упругие свойства; 
– матрицу, учитывающую свойства упругого основания.
Матрица представлена в виде суммы трех матриц: 
, где 
зависит от коэффициента k 0, а 
и 
– от коэффициента с 0 по направлениям координатных осей. При =0 получаем наиболее распространенную и простую модель упругого основании – модель Винклера. При отсутствии упругого основания = 0. Матрицы жесткости , , и приведены, соответственно, в таблицах 8.2, 8.3, 8.4 и 8.5.
Распределенные (погонные) усилия при расчете плиты определяются по выражению (8.30), которое в данном случае удобно записать в виде 
. Матрица 
приведена в таблице 8.6. В эту матрицу подставляются координаты узлов для изгибающих моментов и координаты середины элемента – для крутящего момента. Размер матрицы – (9 х 12).
Таблица 8.2
Матрица жесткости прямоугольного КЭ плиты
| Si | = | r 11 | r 12 | r 13 | r 14 | r 15 | r 16 | r 17 | r 18 | r 19 | r 1,10 | r 1,11 | r 1,12 | Zi | |
| r 22 | r 23 | – r 15 | r 25 | – r 18 | r 28 | r 1,11 | r 2,11 | 
| ||||||
| r 33 | r 16 | r 36 | – r 19 | r 39 | – r 1,12 | r 3,12 | 
| |||||||
| Sj | r 11 | – r 12 | r 13 | r 1,10 | – r 1,11 | r 1,12 | r 17 | – r 18 | r 19 | Zj | |||||
| r 22 | – r 23 | – r 1,11 | r 2,11 | r 18 | r 28 | 
| ||||||||
| r 33 | – r 1,12 | r 3,12 | – r 19 | r 39 | 
| |||||||||
| Sk | r 11 | – r 12 | – r 13 | r 14 | – r 15 | – r 16 | Zk | ||||||||
| r 22 | r 23 | r 15 | r 25 | 
| ||||||||||
| Симметрично | r 33 | – r 16 | r 36 | 
| ||||||||||
| Sl | r 11 | r 12 | –r 13 | Zl | |||||||||||
| r 22 | – r 23 | 
| ||||||||||||
| r 33 | 
|
В таблице 8.2: 
Таблица 8.3
Матрица жесткости 
прямоугольного КЭ плиты
| 461 a | 461 ma | – 274 a | 199 ma | – 116 a | – 116 ma | 199 a | – 274 a | ||||
| 80 a 2 | 80 ma 2 | 274 a | – 60 a 2 | 42 ma 2 | 116 a | – 30 a 2 | – 28 ma 2 | 199 a | 40 a 2 | – 42 ma 2 | |
| 80 m 2 a 2 | 199 ma | – 42 ma 2 | 40 m 2 a 2 | 116 ma | – 28 ma 2 | – 30 m 2 a 2 | 274 ma | 42 ma 2 | – 60 m 2 a 2 | ||
| – 461 a | 461 ma | – 199 a | – 274 ma | 116 a | – 116 ma | ||||||
| 80 a 2 | – 63 ma 2 | – 199 a | 40 a 2 | 42 ma 2 | – 116 a | – 30 a 2 | 28 ma 2 | ||||
| 80 m 2 a 2 | 274 ma | – 42 ma 2 | – 60 m 2 a 2 | 116 ma | 28 ma 2 | – 30 m 2 a 2 | |||||
| Симметрично | – 461 a | – 461 ma | 274 a | – 199 ma | |||||||
Общий множитель 
| 80 a 2 | 63 ma 2 | – 274 a | – 60 a 2 | 42 ma 2 | ||||||
| 80 m 2 a 2 | – 199 ma | – 42 ma 2 | 40 m 2 a 2 | ||||||||
| 461 a | – 461 ma | ||||||||||
| 80 a 2 | – 63 ma 2 | ||||||||||
| 80 m 2 a 2 |
Таблица 8.4
Матрица жесткости 
прямоугольного КЭ плиты
| 1266 m | 609 b | 381 mb | – 1266 m | 189 b | – 381 mb | 384 m | – 63 b | 39 mb | – 384 m | – 433 b | –39 mb |
| 532 b 2/ m | 210 b 2 | – 609 b | 77 b 2/ m | – 210 b 2 | 433 b | – 119 b 2/ m | – 433 b | – 364 b 2/ m | |||
| 12 mb 2 | – 381 mb | 105 b 2 | –12 mb 2 | 276 mb | – 105 b 2 | 9 mb 2 | – 276 mb | – 210 b 2 | – 9 mb 2 | ||
| 1266 m | – 189 b | 381 mb | – 384 m | 63 b | –39 mb | 384 m | 433 b | 39 mb | |||
| 112 b 2/ m | – 105 b 2 | 63 b | 56 b 2/ m | – 63 b | – 119 b 2/ m | ||||||
| 12 mb 2 | – 276 mb | 105 b 2 | – 9 mb 2 | 276 mb | 210 b 2 | 9 mb 2 | |||||
| Симметрично | 1266 m | – 189 b | – 66 mb | –1266 m | – 609 b | 66 mb | |||||
Общий множитель 
| 112 b 2/ m | 231 b | 77 b 2/ m | ||||||||
| 12 mb 2 | 66 mb | –12 mb 2 | |||||||||
| 1266 m | 609 b | – 66 mb | |||||||||
| 532 b 2/ m | |||||||||||
| 12 mb 2 |
Таблица 8.5
Матрица жесткости 
прямоугольного КЭ плиты
| 636/ m | 66 a/m | 84 a | 246/ m | – 39 a/m | 42 a | – 246/ m | 39 a/m | 42 a | – 636/ m | – 66 a/m | 84 a |
| 12 a 2/ m | 39 a/m | – 9 a 2/ m | – 39 a/m | 9 a 2/ m | – 66 a/m | – 12 a 2/ m | |||||
| 112 ma 2 | 42 a | 56 ma 2 | – 42 a | – 14 ma 2 | – 84 a | – 28 ma 2 | |||||
| 636/ m | – 69 a/m | 84 a | – 636/ m | 66 a/m | 84 a | – 246/ m | – 39 a/m | 42 a | |||
| 12 a 2/ m | 66 a/m | –12 a 2/ m | 39 a/m | 9 a 2/ m | |||||||
| 112 ma 2 | – 84 a | – 28 ma 2 | – 42 a | – 14 ma 2 | |||||||
| Симметрично | 636/ m | – 66 a/m | – 84 a | 246/ m | 39 a/m | – 42 a | |||||
| Общий множитель
| 12 a 2/ m | – 39 a/m | –9 a 2/ m | ||||||||
| 112 ma 2 | – 42 a | 56 ma 2 | |||||||||
| 636/ m | 66 a/m | – 84 a | |||||||||
| 12 a 2/ m | |||||||||||
| 112 ma 2 |
Таблица 8.6
Матрица усилий прямоугольного КЭ плиты
| Zi | |||||||||||||||
| Dx μ | 2 Dxa | 2 D μ b | –3 Dxa/a | Dxa | –3 D μ b /b | D μ b |
| |||||||
| –3 Dxa/a | – Dxa | Dx μ | –2 Dxa | 2 D μ b | –3 D μ b /b | D μ b |
| |||||||
| –3 D μ b /b | – D μ b | Dx μ | –2 Dxa | –2 D μ b | –3 Dxa/a | – Dxa | Zj | |||||||
| –3 D μ b /b | – D μ b | –3 Dxa/a | Dxa | Dx μ | 2 Dxa | –2 D μ b |
| |||||||
| = | Dy μ | 2 D μ a | 2 Dyb | –3 D μ a /a | D μ a | –3 Dyb/b | Dyb |
| ||||||
| –3 D μ a /a | – D μ a | Dy μ | –2 D μ a | 2 Dyb | –3 Dyb/b | Dyb | Zk | |||||||
| –3 Dyb/b | – Dyb | Dy μ | –2 D μ a | –2 Dyb | –3 D μ a /a | – D μ a |
| |||||||
| –3 Dyb/b | – Dyb | –3 D μ a /a | D μ a | Dy μ | 2 D μ a | –2 Dyb |
| |||||||
| –8 Dka/b | – Dkb | – Dka | 8 Dka/b | – Dkb | Dka | –8 Dka/b | Dkb | Dka | 8 Dka/b | Dkb | – Dka | Zl | ||
|
| |||||||||||||||
| В таблице 8.6: |
|
