Из принятых положительных направлений усилий и перемещений (см. рис. 8.13) и поверхности прогиба (8.66) видно, что контакт нижней поверхности элемента с поверхностью упругого основания будет осуществляться при Zi > 0; Zj > 0; Zl > 0; Zk > 0; 
> 0; 
> 0; 
> 0; 
> 0; 
< 0; 
< 0; 
< 0 и 
< 0. В противном случае при допущении односторонней связи будет происходить отлипание нижней поверхности элемента от поверхности основания.
На основании этого диагональную матрицу единичных функций (8.21) можно записать в виде:
h g = [ hi hi hi hi hj hi hi hj hj hi hi hj ] (8.72)
Пример 8.4. Требуется рассчитать плиту, свободно стоящую на упругом основании (рис. 8.15) с коэффициентом постели k 0 = 12,7 Н/см3 при нагрузке силами F 1 = 23 кН и F 2 = 46 кН. Материал плиты – бетон (жесткость E = 3,1∙106 Н/см2, μ = 0,15). Расчет произвести без учета односторонней связи с основанием.
Решение. 1. Определим жесткостные характеристики плиты (8.69):
μ x = μ y = 0,15; ν = 1 – μ x μ y =0,9775; G = 3,1∙106/2(1+ 0,15) = 1,349∙ 106 Н/см2;
D = Dx = Dy = 3,1∙106∙403/(12∙0,9775) = 169,139∙ 108 Н∙см;
Dk = 1,349∙106∙403/6 = 0,851 D.
2. Составим дискретную схему плиты, разбив ее на конечные элементы. Рассматриваемая плита (см. рис. 8.15) при заданном загружении имеет четыре оси симметрии. В силу этого при расчете можно рассмотреть 1/4 часть плиты, а уравнения метода перемещений, используя диагональную ось симметрии, составить для 1/8 части. На рис. 8.16 показана сетка разбивки четверти плиты на конечные элементы со сторонами а = в = 100 см. В силу симметрии для 1/8 части плиты можно сформулировать следующие граничные условия: в узлах 1, 2, 3 әw/әy = 0; в узлах 4, 7, 9 әw/әy = әw/әx.
Таким образом, разрешающая система уравнений буде 21 – го порядка.
3. Вычислим матрицы жесткости конечных элементов, приняв за общий множитель величину D / a: матрицу 
- по таблице8.2; матрицу 
- по таблице8.3. Так размеры всех элементов одинаковы, то и матрицы жесткости будут одинаковы. Матрицы , и их сумма 
приведены, соответственно в таблицах 8.7 – 8.9. Так как общие оси координат совпадают о местными, то блоки матриц жесткости 
4. В соответствие с заданной расчетной схемой (см. рис. 8.15) и схемой разбивки на конечные элементы (см. рис. 8.16) матрицы свободных членов системы уравнений для каждого узла будут:
5. Составим канонические уравнения в общем виде на основании (8.64) из условий равновесия каждого узла:
Узел 1. r ii Z 1 + r ij Z 2 + r il Z 4 + r ik Z 5 + R 1 =0;
Узел 2. r ji Z 1 + (r jj+ r ii) Z 2 + r ij Z 3 + r jl Z 4 + (r jk+ r il) Z 5 + r ik Z 6 + R 2 =0;
Узел 3. r ji Z 2 + r jj Z 3 + r jl Z 5 + r jk Z 6 + R 3 =0;
Узел 4. 0,5(r li+ r ji) Z 1 + 0,5(r lj+ r jl) Z 2 +0,5(r ll + r jj + r ii) Z 4 +
+0,5(r lk+ r ij + r jk + r il) Z 5 +0,5 r ik Z 7 + R 4 =0;
Узел 5. r ki Z 1 + (r kj+ r li) Z 2 + r lj Z 3 +(r kl + r ji) Z 4 +(r kk+ r ll + r jj + r ii) Z 5+
+(r lk+ r ij) Z 6 +(r jk+ r li) Z 7 + r ik Z 8 + R 5 =0;
Узел 6. r ki Z 2 + r kj Z 3 +(r kl+ r ji) Z 5+(r kk+ r jj) Z 6 + r jl Z 7 + r jk Z 8 + R 6 =0;
Узел 7. 0,5 r ki Z 4 +0,5(r kj+ r li + r kl + r ji) Z 5+ 0,5(r lj+ r ji) Z 6 +
+0,5(r kk+ r ll + r jj + r ii) Z 7+0,5(r lk+ r ij + r il + r jk) Z 8+0,5 r ik Z 9 + R 7 =0;
Узел 8. r ki Z 5 + r kj Z 6 +(r kl + r ji) Z 7 +(r kk+ r jj + 0,5 r jl) Z 8+ r ik Z 8 + R 8 =0;
Узел 9. 0,5 r ki Z 7 +0,5(r kj + r kl) Z 8 +0,5 r kk Z 9 + R 9 =0.
С учетом граничных условий в полученные выражения подставим матрицы неизвестных, пронумеровав их по порядку, начиная с узла 1:
Таблица 8.7
Матрица жесткости 
прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4
| 0,1053 | 2,32 | 2,32 | –0,0468 | 2,17 | 0,68 | –0,0132 | 0,83 | 0,83 | –0,0468 | 0,68 | 2,17 |
| 155,9973 | –2,17 | 61,0007 | –0,83 | 38,9993 | 0,68 | 44,0027 | |||||
| 155,9973 | 0,68 | 44,0027 | –0,83 | 38,9993 | –2,17 | 61,0007 | |||||
| 0,1053 | – 2,32 | 2,32 | –0,0468 | – 0,68 | 2,17 | –0,0132 | –0,83 | 0,83 | |||
| 155,9973 | – 15 | – 0,68 | 44,0027 | 0,83 | 38,9993 | ||||||
| 155,9973 | –2,17 | –0,83 | 38,9993 | ||||||||
| Симметрично | 0,1053 | – 2,32 | –– 2,32 | –0,0468 | –2,17 | – 0,68 | |||||
Общий множитель 
| 155,9973 | 2,17 | 61,0007 | ||||||||
| 155,9973 | – 0,68 | 44,0027 | |||||||||
| (матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков) | 0,1053 | 2,32 | – 2,32 | ||||||||
| 155,9973 | – 15 | ||||||||||
| 155,9973 |
Таблица 8.8
Матрица жесткости 
прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4
| 0,0001 | 0,0014 | 0,0014 | –0,0008 | 0,0006 | –0,0003 | –0,0003 | 0,0006 | –0,0008 | |||
| 0,0238 | 0,0188 | 0,0008 | –0,0179 | 0,0125 | 0,0003 | –0,0089 | –0,0083 | 0,0006 | 0,0119 | –0,0125 | |
| 0,0238 | 0,0006 | –0,0125 | 0,0119 | 0,0003 | –0,0083 | –0,0089 | 0,0008 | 0,0125 | –0,0179 | ||
| 0,0001 | –0,0014 | 0,0014 | – 0,0006 | 0,0008 | 0,0004 | –0,0004 | |||||
| 0,0238 | – 0,0188 | – 0,0006 | 0,0119 | 0,0125 | –0,0003 | –0,0089 | 0,0083 | ||||
| 0,0238 | 0,0008 | –0,0125 | –0,0179 | 0,0003 | 0,0083 | –0,0089 | |||||
| Симметрично | 0,0001 | – 0,0014 | –– 0,0014 | 0,0008 | – 0,0006 | ||||||
| Общий множитель
| 0,0238 | 0,0188 | – 0,0008 | –0,0179 | 0,0125 | ||||||
| 0,0238 | – 0,0006 | –0,0125 | 0,0119 | ||||||||
| (матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков) | 0,0001 | 0,0014 | – 0,0014 | ||||||||
| 0,0238 | – 0,0188 | ||||||||||
| 0,0238 |
Таблица 8.8
Матрица жесткости 
прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4
| 0,1054 | 2,3214 | 2,3214 | – 0,0468 | 2,1692 | 0,6806 | – 0,0132 | 0,8297 | 0,8297 | –0,0468 | 0,6806 | |
| 156,0212 | 15,0188 | – 2,1692 | 60,9828 | 0,0125 | – 0,8297 | 38,9904 | –0,0083 | 0,6806 | 44,0146 | –0,0125 | |
| 156,0212 | 0,6806 | –0,0125 | 44,0146 | – 0,8297 | –0,0083 | 38,9904 | –2,1692 | 0,0125 | 60,9828 | ||
| 0,1054 | –2,3214 | 2,3214 | –0,0468 | – 0,6806 | 2,1692 | – 0,0132 | – 0,8297 | 0,8297 | |||
| 156,0212 | – 15,0188 | – 0,6806 | 44,0146 | 0,0125 | 0,8297 | 38,9904 | 0,0083 | ||||
| 156,0212 | –2,1692 | –0,0125 | 60,9828 | – 0,8297 | 0,0083 | 38,9904 | |||||
| Симметрично | 0,1054 | – 2,3214 | – 2,3214 | –0,0468 | –2,1692 | – 0,6806 | |||||
| Общий множитель
| 156,0212 | 15,0188 | 2,1692 | 60,9828 | 0,0125 | ||||||
| 156,0212 | – 0,6806 | –0,0125 | 0,0119 | ||||||||
| (матрица представлена с точностью до 4-х десятичных знаков) | 0,1054 | 0,0014 | 44,0146 | ||||||||
| 156,0212 | – 2,3214 | ||||||||||
| 156,0212 |
6. Подставив в записанные в общем виде канонические уравнения блоки матрицы по таблице 8.8, получим систему уравнений в численном виде и, решив ее, найдем значения неизвестных (с общим множителем a / D):
Z 1 = 6499809,22; Z 8 = –2142,44; Z 15 = 1094818,79;
Z 2 = –27638,64; Z 9 = 3079211,64; Z 16 = –19595,84;
Z 3 = 4038061,52; Z 10 = –18985,86; Z 17 = –602185,38;
Z 4 = –22741,75; Z 11 = –18984,90; Z 18 = –15793,63;
Z 5 = 2040957,32; Z 12 = 1209863,92; Z 19 = –15793,57;
Z 6 = –18571,15; Z 13 = –16533,83; Z 20 = –954965,13;
Z 7 = 5300398,28; Z 14 = –16533,73; Z 21 = 12743,10.
7. Определим погонные усилия в элементах плиты на основании таблицы 8.6 и по формуле (8.30). Матрица Ng для конечных элементов данного примера приведена в таблице 8.9. Матрицы узловых перемещений для каждого элемента будут иметь вид:
Таблица 8.9
Матрица погонных усилий Ng прямоугольного КЭ плиты к примеру 8.4
| D / a | 0,039 | – 0,06 | – 0,009 | 0,3 | ||||||||
| – 0,06 | – 2 | 0,069 | – 4 | 0,6 | – 0,009 | 0,3 | ||||||
| – 0,009 | – 0,3 | 0,069 | – 4 | – 0,6 | – 0,06 | – 2 | ||||||
| – 0,009 | – 0,3 | – 0,06 | 0,069 | – 0,6 | ||||||||
| 0,069 | 0,6 | – 0,009 | 0,3 | – 0,06 | ||||||||
| – 0,009 | – 0,3 | 0,069 | – 0,6 | – 0,06 | ||||||||
| – 0,06 | – 2 | 0,069 | – 0,6 | – 4 | – 0,009 | – 0,3 | ||||||
| – 0,06 | – 2 | – 0,009 | 0,3 | 0,069 | 0,6 | – 4 | ||||||
| – 0,017 | – 0,2125 | – 0,2125 | 0,017 | – 0,2125 | 0,2125 | – 0,017 | 0,2125 | 0,2125 | 0,017 | 0,2125 | – 0,2125 |
а матрицы усилий, вычисленные по формуле (8.30):
На основании полученных матриц усилий определим значения погонных моментов Mx и My в каждом узле дискретной схемы как среднее арифметическое между значения моментов, полученных для отдельных элементов:
Узел 1. Mx = 0; My = 27865,31 Н∙см/см = 27,865 кН∙м/м.
Узел 2. Mx = 0,5(1473,69 – 5349,35) = –1937,83 Н∙см/см = –1,938 кН∙м/м;
My = 0,5(19340,22 + 18316,77) = 18828,5 Н∙см/см = 18,828 кН∙м/м.
Узел 3. Mx = 0;
My = 16789,37 Н∙см/см = 16,789 кН∙м/м.
Узел 4. Mx = My = (11661,58 + 11041,76 +15173,9)/3 =12625,75 Н∙см/см = =12,626 кН∙м/м.
Узел 5. Mx = 0,25(–11716,86 + 5916,4–13889,45+3739,05) = –3987,72 Н∙см/см = –3,988 кН∙м/м;
My = 0,25(16240,72 + 18885,0+1756,72+4400,99) = 10320,86 Н∙см/см = =10,321 кН∙м/м.
Узел 6. Mx = 0,5(5613,4 – 5613,4) = 0;
My = 0,5(15061,44 + 9792,58) = 12427,01 Н∙см/см = 12,427 кН∙м/м.
Узел 7. Mx = My = 0,25(–3114,81 – 8556,97–9373,29–3931,13) = –6244,05 Н∙см/см = –6,244 кН∙м/м.
Узел 8. Mx = 0,5(1326,07 – 1326,07) = 0;
My = 0,5(–12399,16 – 16439,48) = –1441,32 Н∙см/см = –1,441 кН∙м/м.
Узел 9. Mx = My = 0,5(46634,8 – 46634,8) =0.
Эпюра осадок w и эпюры изгибающих моментов Mx и My, построенные по найденным значениям с использованием симметрии. Показаны для четверти плиты на рис. 8.17.