Примеры решений
На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики
В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.
Перестановки, сочетания и размещения без повторений
Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение).
Будем рассматривать множества, которые состоят из различных объектов
Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:
яблоко / груша / банан
Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?
Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:
яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко
Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок.
откройте справочный материал Основные формулы комбинаторики (методичку удобно распечатать) и в пункте № 2 найдите формулу количества перестановок.
Никаких мучений – 3 объекта можно переставить 
способами.
Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?
а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний:
Запись 
в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»
б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:
Запись 
понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».
в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:
Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.
г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.
Вопрос третий: сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?
Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно 
способами, перепишу их заново:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а яблоко – Наташе.
И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.
В данном случае работает формула количества размещений:
Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.
Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же 
различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой 
Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:
Задача 1
Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Решение: используем формулу количества перестановок:
Ответ: 120 способами(Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение.)
Задача 2
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны! ), и это очень важная предпосылка для применения формулы
Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа(характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски)
найдём количество всех возможных перестановок 4 карточек:
!!!! Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить 
способами.
Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ: 18
Сочетания
Сочетаниями называют различные комбинации из 
объектов, которые выбраны из множества 
различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле 
.
Задача 3
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение:
прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать).
В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
!! Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа 
.
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае 
) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде 
. Распишу очень подробно:
способами можно взять 4 детали из ящика.
значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.
Ответ: 1365 способами
Размещения
Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле 
Задача 5
Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
По формуле размещений:
способами можно раздать 3 карты игрокам.
Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:
способами можно извлечь 3 карты из колоды.
Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей, 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей 
способами:
КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.
И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали 
. Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:
способами можно сдать по одной карте трём игрокам.
По существу, получилась наглядная проверка формулы 
,
Ответ: 42840