Задача 4. Определение кинематических характеристик плоского движения

Кривошип OA длиной 0,2 м вращается рав­номерно с угловой скоростью ω_OA = 10 с^–1 и при­водит в движение шатун АВ длиной 1 м. Пол­зун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рисунок 16.1).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычис­лим скорость точки А как точки вра­щающегося кривошипа:

.

Она направлена перпендикулярно ОА (рисунок 17.1).

Рисунок 16.1 Рисунок 17.1 Рисунок 18.1

Скорость v_B ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его то­чек: А и В. Восставляя перпендику­ляры к векторам этих скоростей, на­ходим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .

Из треугольника АВР имеем | АР | = 1 м; | ВР | = м, и тогда

.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускоре­ние точки А как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точке О (рисунок 18.1).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся тео­ремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

. (1)

Центростремительное ускорение точки В в относи­тельном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полю­су — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определе­но однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедлен­ным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направле­нием , а вектор направим перпендикулярно от­резку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать дви­жение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рисунок 17.1, 18.1).

Теперь в равенстве (1) все ускорения имеют определен­ное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

.

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

.

Отсюда следует, что

.

Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.

Вопросы для защиты задачи

1. Какое движение тела называется плоским и как оно задается?

2. Как определить скорость любой точки плоской фигуры?

3. Способы определения мгновенного центра скоростей.

4. Как определить скорость любой точки плоской фигуры, если известен мгновенный центр скоростей?

5. Как определить ускорение любой точки плоской фигуры

Третий раздел теоретической механики «Динамика»