Семестр
Предмет теоретической механики, основное содержание курса. Модели классической механики.
- Механика Ньютона
Основные понятия и принципы. Пространство, система отсчета, система координат. Время. Материальное тело, масса. Кинематика точки: движение, скорость, ускорение точки. Взаимодействие тел: действие – противодействие. Сила. Законы Ньютона.
Дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Естественное представление движения точки вдоль траектории. Естественный ортонормированный базис, естественные проекции векторов скорости и ускорения. Уравнения движения точки в естественном базисе. Криволинейные координаты. Координатные поверхности и линии. Локальный базис и кобазис. Тензорные (контравариантные, ковариантные) компоненты векторов скорости и ускорения. Символы Кристоффеля второго рода. Ортогональные криволинейные координаты: цилиндрические, сферические, полярные. Физические компоненты векторов скорости и ускорения. Дифференциальные уравнения движения точки в криволинейных координатах.
Количество движения (импульс), момент количества движения (кинетический момент) относительно точки и оси. Момент силы относительно и точки и оси. Кинетическая энергия. Работа. Мощность. Теоремы динамики точки. Силовое поле, его работа. Центральное поле. Осесимметричное поле. Потенциальное поле, потенциальная энергия. Механическая энергия. Законы сохранения импульса, кинетического момента и механической энергии.
Движение точки в центральном силовом поле. Законы сохранения. Сведение к одномерной задаче. Эффективная потенциальная энергия. Интегрирование уравнений движения. Исследование формы орбит. Движение точки в ньютоновском поле. Законы Кеплера. Формы орбит.
- Система материальных точек
Механическая система, внешние и внутренние силы и моменты. Главный вектор и главный момент внешних и внутренних сил. Движение системы материальных точек, уравнения движения. Центр масс. Импульс, момент импульса, кинетическая энергия системы точек. Формула Кенига. Теорема о движении центра масс. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии системы точек. Теоремы в осях Кенига. Замкнутая система, законы сохранения. Закон сохранения механической энергии.
Задача двух тел. Уточнение законов движения точки в ньютоновском поле.
3. Абсолютно твердое тело.
Положение. Поле элементарных перемещений. Векторы элементарного поступательного перемещения и элементарного поворота. Число степеней свободы тела.
Движение. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Представление движения тела в виде композиции двух движений. Поступательное, вращательное, плоское, сферическое движения. Поле скоростей и поле ускорений тела.
Плоское движение тела. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Поле скоростей и поле ускорений плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей. Сферическое движение тела, поле скоростей и поле ускорений. Мгновенная ось вращений.
Кинематика сложного движения точки и тела. Абсолютные, относительные и переносные кинематические характеристики движения. Теоремы сложения скоростей и ускорений точки. Теоремы сложения угловых скоростей и угловых ускорений тела.
Геометрия масс твердого тела. Центр масс. Момент инерции тела относительно оси. Оператор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Главные оси инерции. Лемма Гюйгенса – Штейнера.
Количество движения, момент количества движения тела относительно точки и оси, кинетическая энергия тела. Формула Кенига. Работа и мощность тела. Теоремы динамики твердого тела. Законы сохранения.
Дифференциальные уравнения движения тела. Уравнения равновесия тела и системы тел. Дифференциальные уравнения плоского движения тела. Дифференциальные уравнения сферического движения.
Динамические уравнения Эйлера. Движение тяжелого твердого тела. Случай Эйлера, описание его движения по Пуансо. Случай Лагранжа движения тяжелого тела. Качественное исследование движения волчка Лагранжа.
Семестр
- Аналитическая динамика механических систем со связями
Механическая система со связями. Геометрические связи. Уравнения связей. Реакции связей. Идеальная связь. Уравнения Лагранжа первого рода. Уравнения движения точки по поверхности и по линии.
Возможные перемещения системы. Число степеней свободы системы. Возможная работа сил взаимодействий тела и системы тел.
Движение системы. Поле сил инерции тела по Даламберу. Возможная работа сил инерций, главный вектор и главный момент сил инерций тела. Общий принцип механики. Принцип Даламбера – Лагранжа. Принцип возможных перемещений. Принцип Даламбера.
Обобщенные координаты, обобщенные скорости. Кинетическая энергия системы в переменных Лагранжа. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа второго рода. Консервативные системы. Потенциальная энергия консервативной системы. Функция Лагранжа. Обобщенно – консервативные системы. Обобщенная потенциальная энергия. Мощность обобщенных сил. Гироскопические силы. Диссипативные силы.
Разрешимость уравнений Лагранжа относительно обобщенных ускорений. Каноническая форма уравнений движения.
Преобразование Лежандра. Инволютивность. Неравенство Юнга.
Обобщенные импульсы. Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона.
Переменные Рауса. Функция Рауса. Уравнения Рауса.
Эквивалентность уравнений Лагранжа, Гамильтона и Рауса.
Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения. Циклические и позиционные координаты. Циклические интегралы. Интеграл энергии. Обобщенный интеграл энергии. Скобки Пуассона и первые интегралы. Теорема Якоби – Пуассона.
- Устойчивость движений механических систем
Устойчивость и асимптотическая устойчивость. Устойчивость и неустойчивость нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами в зависимости от расположения собственных значений. Устойчивость по Ляпунову решений автономных систем. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Достаточные условия устойчивости положения равновесия консервативной системы, теорема Лагранжа - Дирихле. Теоремы Ляпунова о неустойчивости.
Дифференциальные уравнения линейного приближения автономных систем. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению.
Устойчивость стационарных движений консервативных систем с циклическими координатами. Теорема Рауса.
Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.
Устойчивость перманентных движений тяжелого тела (случай Эйлера) и оси волчка Лагранжа.
- Малые колебания
Дифференциальные уравнения линейного приближения консервативных и обобщенно – консервативных систем (уравнения малых колебаний). Малые колебания. Главные (нормальные) координаты. Собственные колебания. Главные частоты колебаний. Разложение малых колебаний по собственным колебаниям.
- Вариационные принципы механики
Функционал и его вариация. Экстремаль функционала. Теорема об экстремали. Уравнения Эйлера – Лагранжа. Вариационный принцип Гамильтона. Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи – Лагранжа.
Канонические преобразования
Определение канонического преобразования. Свойства канонических преобразований. Свободное каноническое преобразование. Несвободные канонические преобразования. Производящая функция свободного канонического преобразования. Уравнение Гамильтона – Якоби.
Критерии каноничности преобразований. Функция действия Гамильтона как производящая функция свободного канонического преобразования. Фазовый поток гамильтоновой системы как свободное каноническое преобразование.
Литература
1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.:Наука, 1989 и последующие издания.
2. Бондарь В. Д. Лекции по теоретической механике. НГУ, 1970, ч. 1; 1972,
ч. 2; 1974, ч.3.
Дополнительная литература.
3. Вильке В. Г. Теоретическая механика. МГУ, 1991 и последующие издания.
4. Гантмахер Ф. Н. Лекции по аналитической механике. М.:Наука, 1966 и последующие издания.
5. Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. МГУ, 1992 и последующие издания.
6. Годунов С. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. НГУ, 1994 (глава 2).