НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

Р а б о т а 8

Задание. Используя метод Лобачебского, решить уравнение с точностью до 0,001.

 

№1. x⁴+6x³+11x²-2x-28=0. № 2.x⁴+5x³+9x²+5x-1=0

№3. x⁴+3x+3x-2=0.№ 4.x⁴+x³-7x²+8x-6=0

№ 5. x⁴-10x³+16x+5=0 № 6.x⁴-3x³-4x²-x-3=0

№ 7. x⁴+4x³+4x²+4x-1=0 № 8.x⁴+6x³+13x²+10x+1=0

№ 9. x⁴+x³-4x²+16x-8=0 № 10.x⁴-x³-4x²-11x-3=0

№ 11. x⁴-6x²-12x-8=0 № 12.x⁴+4x³+4x²-4=0

№ 13. x⁴+x³+2x+1=0 № 14.x⁴+2x³+x²+2x+1=0

№ 15. x⁴+3x²-4x-1=0 № 16.x⁴+3x³+8x²-5=0

№ 17. x⁴-6x³+11x²+2x-28=0 № 18.x⁴-5x³+9x²-5x-1=0

№ 19. x⁴-3x³+3x²-2=0 № 20.x⁴-x³-7x²-8x-6=0

№ 21. x⁴-10x²-16x+5=0 № 22.x⁴+3x³+4x²+x-3=0

№ 23. x⁴-4x³-4x²-4x-1=0 № 24.x⁴+2x³+3x²+2x-2=0

№ 25. x⁴-6x³+13x²-10x+1=0 № 26.x⁴-3x²+4x-3=0

№ 27. x⁴-6x²+12x-8=0 № 28.x⁴-4x³+4x²-4=0

№ 29. x⁴-x³-2x+1=0 № 30.x⁴-2x³+x²-2x+1=0

 

 

Образец выполнение задания x4-2x3+x-1,5=0

 

Вычисления помещаем в таблице:

m	2m	a0	a1	a2	a3	a4
			-2			-1,5
						2,25
				-2,5	-3,5	5,0625
			1,96·102 0,05·10 2,01·102	6,25 10,125 114,375	12,25 25,3125 37,5625	25,629
	2,01·10²	1,1438·10²	3,7562·10	2,5629·10
			4,0401·104 -0,0229·104 4,0172·104	1,30828·104 -1,50999·104 +0,00513·104 -0,19658·104	1,4109·10³ -5,86629·10³ -4,4520·10³	6,5685·10²
	4,0172·104	-1,19658·103	-4,4520·10³	6,5685·10²
			1,6138·109	3,8644·106 35,7691·107 0·107	1,98203·107 0,25825·10	4,3145·105
	1,6138·109	3,6155·108	2,2403·107	4,3145·105
			2,6044·1018	13,0718·1016 -7,2308·1016 0·1016	5,0189·1014 -3,1198·1014	1,8615·1011
	2,6044·1018	5,8410·1016	1,8991·1014	1,8615·1011
			6,7829·1036	3,4117·1033 -0,9892·1033	3,6066·1028 -2,1746·1028	3,4652·1022
	6,7829·1036	2,4225·1033	1,4320·1028	3,4652·1022
			4,6008·1073	5,8685·1066 -0,1943·1066	2,05062·1056 -1,67899·1056	1,2008·1045
	4,6008·1073	5,6742·1066	3,7173·1055	1,2008·1045
m	2m	a0	a1	a2	a3	a4
			2,1167·10147	3,2197·10133 -0,0003·10133	1,3818·10111 -13,6272·10111	1,4419·1090
	2,1167·10147	3,2194·10133	-1,2245·10112	1,4419·1090
			4,4804·10294	1,0365·10267	1,4994·10224 -0,9284·10224	2,0791·10180
	4,4804·10294	1,0365·10267	-0,5710 ·10224	2,0791·10180

 

1. lg|₁x|= ∙lg2.1167∙10¹⁴⁷= ∙ 147.3257=0.2877.

|₁x|=1.939; x₁=1.939.

 

2. lg|₂x|= ∙ lg = ∙(-14+0,5077-0.3257)=

(-13.8180)= - 0.02699=1.97301.

|₂x|=0,9397; x₂= -0,9397

3.

Ответ:

Р а б о т а 9

Задание. Используя метод выделения квадратного множителя (метод Хичкока), решить уравнение с точностью до 0,001.

№ 1. 2x⁴+0,2x³+1,4x²+2,3x-1,5=0.№ 2. x⁴+0,77x³-1,002x²+60164x-1,6=0.

№ 3. x⁴+x³+2x+1=0. № 4. x⁴+1,4x³-2,26x²+0,5x-3,5=0.

№ 5. x⁴+2x³+x²+2x+1=0. № 6. x⁴+2,5x³-0,4x²+2,6x+7,2=0.

№ 7. x⁴+4x³+4x²+4x-1=0. № 8. x⁴+2x³-0,4x²+1,6x+0,64=0.

№ 9. x⁴+4x³+2,2x²+6,4x+2,56=0. № 10. x⁴-8x³-5x²-12x+2,25=0.

№ 11. x⁴+10x³+1,8x²-31x+9,61=0. № 12. x⁴-6x³-1,2x²-14,4x+5,76=0.

№ 13. x⁴+8x³-16x²+24,492x-1=0. № 14. x⁴-6x³-7x²-18x-1=0.

№ 15. x⁴-8x³-5x²-10x-1=0.№ 16. x⁴+6x³-5x²+24x+2=0.

№ 17. x⁴-8x³-10x²-40x+7=0.№ 18. x⁴+10x³-3x²+36x+2=0.

№ 19. x⁴+6x³-16x²+24x-2=0. № 20. x⁴-8x³-5x²-42x+6=0.

№ 21. x⁴-2x³+4,2x²-8x-1=0. № 22. x⁴+4x³+7,2x²+4x-1=0.

№ 23. x⁴-4x³+5,2x²-4=0. № 24. x⁴+2x³+6,2x²+10x+4=0.

№ 25. x⁴-2x³+4,2x²-8x-1=0.№ 26. x⁴-4x³+x²-10x-0,8=0.

№ 27. x⁴-4x³-19x²-26x+1=0. № 28. x⁴-4x³+4,2x²-10x-4=0.

№ 29. x⁴+4x³-19x²-10x+1=0. № 30. x⁴+4x³-2x²+14x+3,1=0.

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я з а д а н и я x4+4x³+4,8x²+16x-1=0.

 

Определим какие-нибудь два корня уравнения; для этого определим знаки функции ƒ(х)=x⁴+4x³+4,8x²+16x-1=0 при некоторых значениях х;

 

х	-4	-3	-2	-1
sign ƒ	+	-	-	-	-	+

 

Итак, один корень принадлежит промежутку [0, 1], а другой - промежутку [-4, -3].

Примем х₁≈ 0,5; х₂ ≈ -3,5; тогда за начальное приближение квадратного трехчлена - делителя данного многочлена - можно взять

q₀(x)=x²+(-0,5+3,5)x-3,5·0,5= x²+3x-1,75,

где р₀=3, q₀= -1,75.

Уточнение коэффициентов делителя производим по формулам

p_k+1= p_k+ h_k;

где

 

Значения производных находятся по формулам

P’_p(p_k, q_k)= p_kR_k - S_k; P’_q(p_k, q_k)= - R_k;

Q’_k(p_k, q_k)= q_kR_k; Q’_k(p_k, q_k)= - S_k;

Величины P(p_k, q_k) и Q(p_k, q_k) определяются из тоджества

ƒ(х)=q_k(х)·L_k(x)+ P_k(p_k, q_k)·x+ Q’_k(p_k, q_k),

а величины R_k и S_k из - тоджества

L_k(x)=q_k(х)· L_1k(x)+ R_k·x+S_k

Все расчеты можно оформить в виде двух вычислительных таблиц, одна из которых (табл. I) служит для двукратного деления на q_k(х) по схеме Горнера, а другая (табл. II) - для вычисления поправокh_kи t_k.

Таблица I.

k				4,8		-1
	-p=-3 -q=1,75   -p=-3 -q=1,75		-3 - -3 - -2= R0	-3 1,75 3,55 - 1,75 5,30= S0	-10,65 1,75 7,1= P0	- 6,2125 5,2125= Q0
	-3,9 0,15   -3,9 0,15		-3,9 - 0,1 -3,9 - -3,8= R1	-0,39 0,15 4,56 - 0,15 4,71= S1	-17,784 0,015 -1,769= P1	- 0,684 -0,316= Q1
	-3,79 0,23   -3,79 0,23		-3,79 - 0,21 -3,79 - -3,58= R2	-0,7959 0,23 4,2341 - 0,23 4,4641= S2	-16,0472 0,0483 0,0011= P2	- 0,9738 -0,0262= Q2
	-3,7889 0,2361   -3,7889 0,2361		-3,7889 - 0,2111-3,7889 - -3,5778	-0,79984 0,2361 4,23626 - 0,2361 4,47236	-16,05077 0,04984 -0,00093	- 1,00018 0,00018
	-3,78885 0,2361		-3,78885 - 0,21115	-0,800016 0,23607 4,236054	-16,04977 0,049846 -0,000076	- 1,000005 0,000005

 

Таблица II.

k	pk	Rk	Pk	P’p(pk, qk)	P’q(pk, qk)	∆k	∆pk	hk
qk	Sk	Qk	Q’k(pk, qk)	Q’k(pk, qk)	∆qk	tk
		-2	7,1	-11,3		52,89	48,055	0,9
-1,75	5,3	5,2125	3,5	-5,3	83,751	1,6
	3,9	3,8	-1,769	-19,53	3,8	89,82	-9,533	-0,11
-0,15	4,71	-0,	0,57	-4,71	-7,180	-0,08
	3,79	-3,58	0,0011	-18,0323	3,58	77,55	-0,0889	-0,0011
-0,23	4,4641	-0,0262	0,8234	-4,4641	-0,4715	-0,0061
	3,7889	-3,5778	-0,0093	-18,0283	3,5778	77,607	-0,00352	-0,00005
-0,2361	4,47236	0,00018	0,8447	-4,47236	0,00246	0,00003
	3,78885
-0,23607

 

Итак,

ƒ(х)≈(x²+3,78885х-0,23607)(x²+0,21115х+4,23605)=0.

Для определения корней остается решить два квадратных уравнения:

x²+3,78885х-0,23607=0; х_1,2=-1,894425± +0,23607= = -1,894425±1,955739; х₁≈-3,850; х₂≈0,0613;

x²+0,21115х+4,23605=0; х_3,4=-0,105575± -4,23605=

= -0,105575+2,055i; х_3,4≈ -0,106+2,055i.

Ответ: х₁≈-3,850; х₂≈0,0613; х_3,4≈ -0,106+2,055i.

Глава VI

НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

Задание. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы методом непосредственного развертывания с точностью до 0,001.

 

№ 1. № 2.

№ 3. № 4.

№ 5. № 6.

№ 7. . № 8.

№ 9. № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16.

№ 17. № 18.

№ 19. № 20.

№ 21. № 22.

№ 23. № 24.

№ 25. № 26.

№ 27. № 28.

№ 29. № 30.

 

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я з а д а н и я

1. Составим характеристические уравнение матрицы, корнями которого являются собственные числа матрицы.

Непосредственного развернув определить третьего порядка, получим

 

(2-λ)(4-λ)(-1-λ)-15-12-9(4-λ)-10(2-λ)-2(-1-λ)=0,

 

Откуда после раскрытия скобок, приведения подобных членов и умножения обеих частей уравнения на - 1 имеем

 

λ³-5λ²-19λ+89=0.

 

Полученное уравнение решим с помощью метода Ньютона для уточнения корней, предварительно отделив корни. Находим

 

ƒ(λ)=λ³-5λ²-19λ+89; ƒ(λ)=3λ²-10λ-19;

λ₁= -1,2; λ₂=4,7.

Составим таблицу знаков фуекции ƒ(λ):

 

λ	-∞	-1,2	4,7	+∞
sign ƒ(λ)	-	+	-	+

 

Из таблицы знаков видим, что уравнение имееи три действительных корня λ₁‌ϵ ]-∞; -1,2]; λ₂ϵ [ -1,2; 4,7]; λ₃ϵ [ 4,7; +∞ [. Выберем для уточнения один из них, например λ₂.

Уменьшим промежуток [-1,2; 4,7], в которм находится этот корень. Для этого вычислим значения функции ƒ(λ) в некоторых точках промежутка: ƒ(2)=39>0; ƒ(3)=14>0; ƒ(4)=-3<0. Итак, корень λ₂содержится внутри промежутка [3, 4].

Уточнения корня производим по формуле

Для выбора начального приближения λ₀ определим знак второй производной ƒ″(λ)в промежутке [3, 4]; имеем ƒ″(λ)=6λ-10; ƒ″(λ)>0 при 3≤ λ ≤4; значит, λ₀=3.

Для вычисления значений функций и ее производной будем использовать схему Горнера. Корень определим с четырьмя верными десятичьными знаками.

 

Все вычисления распологаем в трех таблицах. В табл. 1 вычисляем значения функции ƒ(λ), в табл. II - значения производной ƒꞌ(λ), а в табл. III производим уточнение λ.

Таблица I.

n	λ n		-5	-10
				-6	-75
		-2	-25
	3,63		3,63	4,9731	-87,0224
		-1,37	-239731	-1,9776
	3,75		3,75	-4,6875	-88,8281
		-1,25	-23,6875	0,1719
	3,762		3,762	-4,6574	-88,9991
		-1,238	-23,6574	0,0009
	3,7621		3,7621	-4,65710	-89,0004
		-1,2379	-2365710	-0,0004

 

Таблица II.

n	λ n		-10	-19
				-3
		-1	-22
	3,63		10,89	3,2307
		0,89	-15,7693
	3,75		11,25	4,6875
		1,25	-14,3125
	3,762		11,286	4,8379
		1,286	-14,1621

Таблица III.

n	λ n	ƒ(λn)	ƒꞌ(λn)	ƒꞌ(λn)/ ƒꞌ(λn)
			-22	-0,63
	3,63	1,9776	-15,7693	-0,12
	3,75	0,1719	-14,3125	-0,012
	3,762	0,0009	-14,1621	-0,00006
	3,7621

Итак, λ₂ ≈3,7621.

Для определения двух других собственных чисел решим квадратное уравнение, полученное при делении многочлена ƒ(λ) на λ - 3,7621:

2. Для определения собственных векторов, соответствующих найденным числам, воспользуемся системами линейных уравнений, полученными из равенства (А - λЕ)Х=0.

При λ₁= -4,2841 получим систему

Эта система линейних однородных уравнений является неопределенной, так как ее главный определитель равен нулю.

Решение можно найти, используя любые два уравнения системы, например второе и третье:

Или

Для того чтобы норма ‖ Х₁‖вектора была равна единице, разделим все его координаты на наибольшую из них по абсолютной величине; тогда получим Х₁=С(-0,597; -0,746; 1).

При λ₂ = 3,7621 имеем

При имеем:

Ответ:

3,762 5,522

 

Работа2

Задание. Используя метод Крылова, найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Собственные числа определить с четырьмя верными цифрами, а собственные векторы – с тремя десятичными знаками.

№ 1.