Сложными называют высказывания, состоящие из нескольких простых высказываний, соединенных логическими связками. Простые высказывания рассматриваются здесь без учета их внутренней структуры, как некие неделимые атомы, образующие более сложные структуры. Единственное свойство простых высказываний, которое здесь учитывается, это их истинностная характеристика – каждое простое высказывание либо истинно, либо ложно.
Специфика логической связи между простыми высказываниями, входящих в состав сложных высказываний и составляет предмет исследования логики высказываний.
Высказывания записываются в виде формул, включающих в себя переменные и логические связки. Переменные, соответствующие простым высказываниям, обозначаются латинскими буквами p, q, r, s…, для записи сложных высказываний переменные соединяются логическими связками. Основные логические связки – конъюнкция, дизъюнкция, строгая дизъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание. В соответствии с функциями логических связок основными видами сложных суждений являются: (1) соединительные, (2) разделительные, (3) условные и (4) эквивалентные суждения.
Соединительное (конъюнктивное) высказывание включает в качестве составных частей высказывания-конъюнкты, объединяемые связкой «и». Например: «корысть и властолюбие есть признаки невежества». Если одно из составляющих суждений – «корысть есть признак невежества» – обозначить символом р, другое суждение – «властолюбие есть признак невежества» – символом q, а связь между ними знаком «Ù», то в целом соединительное суждение можно символически выразить как р Ù q. Конъюнктивная связка грамматически выражается союзами «и», «а», «но» и др.
Разделительным (дизъюнктивным) называют высказывание, включающее в качестве составных частей высказывания-дизъюнкты, объединяемые связкой «Ú» (или). Например, «многие недоверчивые люди или глупы (р), или скаредны (q) ». Схематично это высказывание записывается так: р Ú q. Бывает две разновидности дизъюнкции: слабая и сильная (или нестрогая и строгая). Слабая дизъюнкция истинна в тех случаях, когда истинно, по крайней мере, одно из составляющих ее высказываний, и ложна, когда оба высказывания ложны. Сильная (строгая) дизъюнкция истинна лишь тогда, когда одно из составляющих ее высказываний истинно, а другое ложно. Основные языковые средства выражения дизъюнкции – грамматические союзы «или», «либо».
Условным (импликативным) называют высказывание, включающее в качестве составных два высказывания – антецедент(p) и консеквент(q), объединяемых связкой «если..., то...». Схематично это выглядит так: p®q. Например: “Если прекратить подачу кислорода (p), то пламя погаснет (q)» В естественном языке условные высказывания выражаются союзами «если..., то...», «тогда...», «поскольку...», «ибо...» и др. Импликация сообщает о достаточности условия для следствия: например, прекращение подачи кислорода – достаточное условие, чтобы пламя погасло. Поэтому, наличие условия строго предполагает наличие следствия (иначе – импликация окажется ложной). Однако, импликация не предполагает необходимость именно этого условия для наступления следствия, иными словами, указанное импликацией следствие может наступить и по другой причине.
Эквивалентным (двойная импликация) называют высказывание, включающее в качестве составных два высказывания, связанные двойной (прямой и обратной) условной зависимостью, выражаемой связкой «если и только если..., то...». Например: «Если и только если растение имеет ствол (p) – оно является деревом (q)». В данном случае p является необходимым условием q. Эта обусловленность выражается схемой р «q. Эквивалентность выражают также знаком «º », т. е. р º q.
В реальной практике мышления логические союзы нередко сочетаются друг с другом, образуя сложные мыслительные конструкции. Если истинность простых суждений может устанавливаться независимо от его связи с другими суждениями, то истинность сложных суждений всегда зависит от истинности включающихся в него простых суждений и от логической связки, их объединяющей. Эта зависимость определяется правилами, которые представлены в следующей таблице:
Как видим, конъюнкция истинна, если истинны оба составляющих ее суждения, и ложна во всех остальных случаях. Слабая дизъюнкция – ложна, если ложны оба дизъюнкта, и истинна во всех остальных случаях. Строгая дизъюнкция истинна, если один из дизъюнктов истинный, а другой – ложный. В остальных случаях она ложна. Импликация ложна, если ее условие (антецедент) истинный, а следствие (консеквент) – ложно. Эквивалентность будет истинной, если оба составляющих ее суждения – истинны, или оба – ложны. В противном случае она будет ложной. Отрицание обращает истинное суждение в ложное, а ложное – в истинное.
Не следует думать, что эти правила искусственны, они соответствуют реальной практике нашего мышления.
Учитывая правила и возможные значения переменных, мы получим три возможности для сложных высказываний. Первая возможность – суждение может оказаться истинным при одних значениях переменных, и ложным – при других. Тогда оно называется выполнимым. Вторая возможность – при всех значениях переменных высказывание остается истинным. Тогда оно называется тождественно истинным, или законом. Третья возможность – при всех значениях переменным суждение оказывается ложным. Такое суждение называется тождественно ложным.
Таким образом, мы получаем бесконечное множество законов логики, то есть тождественно-истинных высказываний. Некоторые из них называются основными законами, которые наиболее явно регулируют рассудочную деятельность, делают ее логически последовательной и непротиворечивой. Таких законов три: закон непротиворечия (высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными), закон исключенного третьего (любое высказывание в определенном контексте является либо истинным, либо ложным), и закон тождества (любая мысль должна быть тождественна сама себе на протяжении всего рассуждения). Основные законы записываются так:
Закон непротиворечия: ~А /\ ~А, или: неверно, что А и не-А. Например: неверно, что трава зеленая и трава не зеленая.
Закон исключенного третьего А \/ ~А, или: А или не-А. Например: сегодня четверг, или неверно, что сегодня четверг.
Закон тождества А º А, или: если и только если А, то А. Например, если и только если трава зеленая, то она зеленая.
Если мы проверим эти три высказывания по таблице, то убедимся, что все они – тождественно истинные.
Точно так же возможно проверять по таблице любые другие сложные высказывания, убеждаясь, что наши мысли являются логически корректными. В частности, мы получаем метод проверки правильности рассуждений. Здесь особое внимание следует уделить отношению логического следования.
Дадим определение: Суждение А логически следует из суждения В, если логически невозможно, чтобы суждение В было истинным, а суждение А – ложным. Если мы хотим убедиться в том, что некоторый вывод с необходимость следует из имеющегося набора посылок, то табличный метод позволяет это сделать во всех случаях, где не должна учитываться внутренняя структура атомарных (простых) суждений.
Отношение логического следование можно выразить посредством импликации. Тогда антецедент будет являться некоторым множеством суждений, образующих в совокупности посылку рассуждения, а консеквент – множеством суждений, образующих заключение рассуждения. Рассуждение будет правильным, если в нем будет соблюдаться отношение логического следования, то есть проверка покажет, что рассуждение по структуре является тождественно-истинным высказыванием.
В логике существуют различные способы задания множества тождественно истинных высказываний, мы ограничиваемся представленными в таблице правилами, и определением правильно построенной формулы высказывания (ппф): В ппф могут использоваться переменные (простые суждения), логические связки (логические константы) и скобки. Скобки показывают, в какой последовательности нужно выполнять вычисления. Сначала нужно выполнять отрицание (при его наличии), затем от внутренних скобок переходить к внешним. Иногда вместо скобок используется «сила» логической связки, которую приписывают по убывающей в следующем порядке: ~, \/, /\, →, ↔
Итак, воспользуемся таблицей для проверки некоторого рассуждения, предварительно представив его в ппф.
Если привидения существуют, то законы физики ошибочны. Значит, если законы физики верны – привидений не существует. Здесь присутствуют два простых суждения: привидения существуют (p) и законы физики ошибочны (q). Каждое из них, в одном из двух случаев берется с отрицанием. Заменим простые суждение переменными, а союзы – логическими связками. Получаем ппф: (p→q) → (~q→~p). Построим для нее таблицу истинности:
| p | q | (p | → | q) | → | (~ | q | → | ~ | p) |
| и | и | и | и | и | и | л | и | и | л | и |
| л | и | л | и | и | и | л | и | и | и | л |
| и | л | и | л | л | и | л | л | и | л | и |
| л | л | л | и | л | и | и | л | и | и | л |
Выполнив все необходимые вычисления, убеждаемся, что это – тождественно истинное высказывание. Поскольку в выделенном столбце все значения – истинны, то между посылками и выводом присутствует отношение логического следования. Значит, данное рассуждение - логически правильно.
Приведем еще пример: Если на улице дождь(p) – многие люди идут под зонтом(q). Многие люди идут под зонтом(q) – значит, на улице – дождь(p)
| p | q | ((p | → | q) | /\ | q) | → | p |
| и | и | и | и | и | и | и | и | и |
| л | и | л | и | и | и | и | л | л |
| и | л | и | л | л | л | л | и | и |
| л | л | л | и | л | л | л | и | л |
Во второй строчке выделенного столбца формула оказалась ложной. Из этого можно заключить, что логического следования здесь нет, при истинных посылках в рассуждении такой формы возможен ложный вывод. Высказывание не является тождественно-истинным, соответственно - рассуждение не является логически правильным.
Для определения наличия логического следования используется также сокращенный метод. Для этого не требуется воспроизводить все возможные значения переменных, а проверить только, какой будет посылка, истинной или ложной в случаях, если заключение – ложно. Если во всех таких случаях посылка окажется истинной – значит, логическое следование отсутствует (рассуждение неправильно), а если – ложной, тогда оно присутствует. Остальные случаи можно не проверять, поскольку при истинном заключении высказывание не может оказаться ложным.
Когда мы с помощью таблицы истинности убеждаемся, что высказывание – тождественно истинно, это означает, что заключение необходимо следует из посылок. Тогда при истинных посылках вывод будет истинным, а при ложных – неизвестно, он может оказаться случайно истинным, и так же случайно – ложным.