Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.
Анализ учебников по программам Моро М.И. и Истоминой Н.Б.
Баева Н.А. ЗНО- 116
Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.
Все составные задачи в курсе математики начальных классов можно условно поделить на две группы.
Составные задачи:
| Типовые | Нетиповые |
| -На нахождение четвертого пропорционального -На пропорциональное деление или на нахождение неизвестного по двум суммам -На нахождение неизвестного по двум разностям -На движение | Все остальные задачи, которые не подходят ни под один из типов, называют нетиповыми. Их классифицируют по видам простых задач, входящих в них. |
При решении типовых задач учащиеся знакомятся с тройками пропорциональных величин. Их решение позволяет осуществлять пропедевтику понятий «прямая и обратная пропорциональная зависимость», которые будут изучаться в средней школе.
В начальных классах такая терминология не вводиться, мы говорим лишь о тройках пропорциональных величин, учим детей выделять их в задаче и разбираем, как эти величины взаимосвязаны.
В каждой из троек величин выделяют:
1 ) единицу – т.е. величину, которая повторяется несколько раз;
2) количество повторений единицы;
3) общее значение величины.
Детей знакомят с такими основными тройками, как:
· Цена – количество – стоимость;
· Масса одного предмета – количество предметов – общая масса;
· Емкость (объем) одного сосуда – количество сосудов – общая емкость (объем);
· Расход ткани на 1 вещь – количество вещей – общий расход ткани;
· Выработка в единицу времени (производительность) – время работы – общая выработка;
· Скорость – время – расстояние;
· Длина – ширина – площадь
и т.д.
Кроме этих троек величин в задачах встречаются и другие. Например:
Количество клубков на 1 свитер – количество свитеров – общее количество клубков.
С этими тройками величин учащиеся начинают знакомиться в 3 классе при изучении темы «умножение и деление».
Взаимосвязи между величинами в тройке отражается в трех видах простых задач:
1. Нахождение общей величины (умножение);
2. Нахождение единицы (деление);
3. Нахождение количества (деление).
В последнюю очередь в 4 классе вводят задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Они включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.
В этих задачах одна величина постоянна, два значения другой величины даны, а два значения третей величины неизвестны, но дана их разность. В процессе решения разность значений одной величины делят на разность значений другой величины.
Разность значений выражается словами «на сколько больше (меньше) одно значение, чем другое».
Таких задач может быть 6 видов.
1-4 вид отражают прямопропорциональнуюзависимость
5 – 6 вид задач на обратнопропорциональную зависимость
Этапы работы.
1 этап (1-2- урока) – подготовительная работа. В качестве подготовительных упражнений к введению задач данного типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.
Например:
1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше заплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат заплатил столько же денег, сколько заплатила сестра?
2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра и заплатил на 9 рублей больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?
Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 3 тетради и заплатил денег столько же, сколько сестра и еще 9 рублей. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 9 рублей, значит можно узнать, сколько стоит одна тетрадь.
2 этап (1 урок) – ознакомление с задачами этого вида. Учитель подробно вместе с детьми разбирает, как решают эти задачи. Используя всевозможные виды моделей (реальную, графическую, схематическую и т.д.). В результате дает ученикам образец решения подобных задач.
3 этап – формирование умения решать задачи данного вида (продолжительный этап). На этом этапе решают множество подобных задач на разных тройках величин, чтобы не сформировать шаблона мышления, рекомендуют включать так же задачи ранее изученных видов.
| Цена | Количество | Стоимость | |
| 1 вид Т. Р. | Одинаковая | 2 шт. 4 шт. | ? на 2 р. меньше ? |
| 2 вид Т. Р. | Одинаковая | ? на 2 шт. меньше ? | 2 р. 4 р. |
| 3 вид Т. Р. | 1 р. 2 р. | Одинаковое | ? на 4р. меньше ? |
| 4 вид Т. Р. | ? ? на 1 р. больше | Одинаковое | 2 р. 4 р. |
| 5 вид Т. Р. | ? на 1 р. больше ? | 2 шт. 4 шт. | Одинаковая |
| 6 вид Т. Р. | 1 р. 2 р. | ? ? на 2 шт. больше | Одинаковая |
Эти задачи удобно отражать и на схематичной модели.
По схеме видно, что 2 рубля стоят два предмета, следовательно, чтобы найти цену, нужно 2: (4-2)
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Р. ׀----------׀----------׀
Т. ׀-----------׀----------׀-----------׀----------
1) 4-2=2 (шт.) – на сколько больше тетрадей, чем ручек.
2) 2: 2= 1 (р.) – цена одной тетради или ручки.
3) 1 ∙ 2=2 (р.) стоимость тетрадей
4) 1 ∙ 4= 4 (р.) стоимость ручек или 4) 2+2=4 (р.) – стоимость ручек.
Такие задачи тоже удобно проверять способом подстановки.
Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи.
Анализ УМК «Школа России» под ред. Моро М. И.
Впервые задача на нахождение неизвестных по двум разностям встречаются на странице 46 М4М2 задание № 170.
Данная задача относится к 1 виду.
Запишем условие задачи в таблицу 1:
- первая графа в таблице – это масса1 ящика. Мы знаем, что ящики одинаковые, значит и масса у них будет одинаковая.
- вторая графа таблицы – это количество ящиков. Нам известно, что в первую столовую привезли 5 ящиков фруктов, а во вторую 2 ящика.
- третья графа – всего кг. Нам неизвестно, сколько кг. было в каждом ящике, но известно, что в первую столовую привезли на 24 кг. больше, чем во вторую.
| Масса 1 ящика | Кол-во ящиков | Всего кг. | |
| одинаковая | 5 ящиков | ? на 24 кг. больше, чем во вторую | |
| 2 ящика | ? |
Данную задачу удобно изобразить на схематичной модели:
 |
5 ящ.
2 ящ. 24 кг.
Решение:
1) 5-2 = 3 (ящ) – вмещают 24 кг.
2) 24: 3= 8 (кг) – в 1 ящике
3) 8*5 = 40 (кг) – привезли в 1 столовую
4) 8*2= 16 (кг)- привезли во вторую столовую.
Ответ: 40 кг., 16 кг.