Рассмотрим прямые 
и 
.
1. Прямые пересекаются, если
. (4.9)
Угол между прямыми находят по формуле:
. (4.10)
Например, прямые 
и 
пересекаются, так как 
, а 
и . Найдем угол между этими прямыми. Так как 
, то 
.
2. Прямые перпендикулярны, если выполняется условие:
(4.11)
3. Прямые параллельны, если
и 
. (4.12)
Например, прямые и 
параллельны, так как 
и .
4. Прямые совпадают, если:
и 
. (4.13)
Пример 4. Запишите уравнение прямой, если известно, что эта прямая проходит через точку 
и перпендикулярна прямой 
.
Решение. Запишем уравнение данной прямой в виде 4.3:
, 
.
Так как искомая прямая 
перпендикулярна данной прямой, то выполняется равенство 4.11: 
, откуда 
.
Согласно формуле 4.4 запишем:
или 
.
Ответ: 
.
Расстояние от точки 
до прямой 
находят по формуле:
. (4. 14)
Пример 5. Найдите длину высоты АD треугольника АВС, если 
, 
, 
.
Решение. 1. Согласно формуле 4.6 запишем уравнение стороны ВС этого треугольника: 
, откуда 
, 
, 
, 
.
2. Так как 
, то длину отрезка AD найдем по формуле 4.14: 
.
Ответ: 
.
Кривые второго порядка
Уравнение линии второго порядка:
(4.15)
Рассмотрим некоторые виды линий второго порядка.
1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
В случае окружности уравнение 4.15 примет вид:
.
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости.
Если центр окружности находится в точке 
, а ее радиус равен R (рис. 4.4), то уравнение окружности имеет вид:
. (4.16)
Если центр окружности находится в точке 
, а ее радиус равен R (рис. 4.5), то уравнение окружности имеет вид:
. (4.17)
| y |
| х |
| y |
| O |
| R |
| x |
| O |
| О/ |
| а |
| b |
Рис. 4.4 Рис. 4.5
Например, запишем уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
. Получим: 
.
Пример 6. Найдите сумму координат центра окружности 
.
Решение. В данном уравнении выделим полные квадраты:
, 
, 
.
Получили окружность с центром в точке 
и радиусом 
.
Ответ: – 3.
2. Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Расстояние от точки до фокуса называют фокальным радиусом.
Каноническое уравнение эллипса:
, (4.18)
где a – большая полуось; b – меньшая полуось.
Фокусы имеют координаты 
и 
, где
. (4.19)
На рисунке 4.6: 
– большая ось эллипса; 
– малая ось эллипса; 
– расстояние между фокусами.
| В 1 |
| В 2 |
| А 1 |
| А 2 |
| F |
| b |
| y |
| -a |
| - b |
| O |
| x |
| a |
| O |
| F 2 |
| F 1 |
Рис. 4.6
Эксцентриситет эллипса находят по формуле:
. (4.20)
Если же 
, то 
, а 
.
Пример 7. Составьте каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 10, а эксцентриситет равен 0,4.
Решение. Так как 
, то 
. Так как и 
, то 
. Зная, что , запишем 
, откуда 
.
Каноническое уравнение эллипса: 
.
Ответ: 
.
3. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы:
, (4.21)
где a – действительная полуось; b – мнимая полуось.
Фокусы имеют координаты и , где
. (4.22)
На рисунке 4.7: – действительная ось гиперболы; – мнимая ось; – расстояние между фокусами; точки А 1 и А 2 – ее вершины.
| В 2 |
| А 1 |
| F 1 |
| х |
| y |
| O |
| F 2 |
| В 1 |
| А 2 |
Рис. 4.7
Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:
. (4.23)
Уравнения асимптот гиперболы:
. (4.24)
Пример 8. Запишите уравнение гиперболы и найдите расстояние между фокусами, если действительная ось гиперболы равна 10, а ее мнимая полуось равна 2.
Решение. Так как 
, то 
. По условию задачи 
.
Запишем каноническое уравнение гиперболы: 
.
По формуле 4.22 найдем с: 
.
Найдем расстояние между фокусами: 
.
Ответ: 
; 
.
4. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
(4.25)
где ось OX – ось симметрии параболы; p – расстояние от фокуса до директрисы (рис. 4.8).
Фокус имеет координаты 
. Уравнение директрисы параболы имеет вид 
.
Если осью симметрии параболы является ось OУ, то каноническое уравнение параболы имеет вид:
(4.26)
В этом случае фокус имеет координаты 
, а уравнение директрисы d параболы имеет вид 
(рис. 4.9).
| F |
| d |
| y |
| х |
| y |
| O |
| F |
| x |
| O |
| d |
Рис. 4.8 Рис. 4.9
Пример 9. Запишите уравнение параболы, если фокус имеет координаты 
.
Решение. 1. Так как фокус параболы расположен на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид .
2. Так как фокус имеет координаты 
, то 
, а 
.
3. Запишем уравнение параболы: 
.
Ответ: 
.
Контрольный тест 4
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1. Если прямая пересекает оси координат в точках 
и
, то ее уравнение с угловым коэффициентом имеет вид
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
.
2. Если прямая проходит через точки 
и 
, то уравнение этой прямой в общем виде записывают
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
.
3. Если угловой коэффициент прямой, проходящей через точку 
, равен 5, то уравнение этой прямой в отрезках имеет вид
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
.
4. Даны прямые:
 ;
| (1) |  ;
| (2) |
 ;
| (3) |  ;
| (4) |
 .
| (5) |
Параллельными являются прямые
Варианты ответов: 1) (1), (3) и (5); 2) (1) и (2); 3) (2) и (5);
4) (1), (3), (4) и (5); 5) (3) и (4).
5. Даныпрямые:
 ;
| (1) |  ;
| (2) |
 ;
| (3) | 
| (4) |
Перпендикулярными являются прямые
Варианты ответов: 1) (1) и (2); 2) (1) и (3); 3) (2) и (3);
4) (3) и (4); 5) (2) и (4).
6. Сумма расстояний от точки 
до прямых 
и 
равна
Варианты ответов: 1) 8; 2) 5; 3) 1,5; 4) 3,25; 5) 4,5.
7. Если уравнение окружности имеет вид 
, то сумма координат точки, которая является ее центром, равна
Варианты ответов: 1) 3; 2) – 3; 3) – 15; 4) 15; 5) 0.
8. Если эллипс пересекает ось Ox в точках 
и 
, а ось Oy в точках 
и 
, то его фокусы находятся в точках
Варианты ответов: 1) 
, 
;
2) 
, 
; 3) 
, 
;
4) 
, 
; 5) 
, 
.
9. Если гипербола проходит через точки 
и 
, причем длина ее мнимой полуоси b в 2 раза меньше длины действительной полуоси a, то значение выражения 
равно
Варианты ответов: 1) 9; 2) 4; 3) 3,5; 4) 7,5; 5) 4,5.
10. Если уравнение параболы имеет вид 
, то ее фокус находится в точке, сумма координат которой, увеличенная в 2 раза, равна
Варианты ответов: 1) 2,5; 2) 5; 3) 10; 4) 20; 5) 25.