Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:
1) составить расширенную матрицу системы;
2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;
3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений;
Чтобы привести матрицу к треугольному виду, можно выполнять следующие элементарные преобразования этой матрицы:
1) умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля число;
2) менять местами строки;
3) складывать и вычитать строки;
4) вычеркивать строки, все элементы в которых нули.
Пример 3. Найдите решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
.
С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
.
Решим систему уравнений:
Получим: , , .
Проверка:
Ответ: , , .
Пример 4. Решите систему линейных уравнений
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
.
Запишем систему уравнений, соответствующую трапециевидной матрице:
Полагая , где , получим:
Тогда , а .
Ответ: , , , где .
Контрольный тест 2
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1. Если – решение системы линейных уравнений
то значение выражения равно
Варианты ответов: 1) 1,25; 2) 1; 3) 20; 4) 0,5; 5) – 0,75.
2. Система линейных уравнений
имеет следующее решение
Варианты ответов: 1) ; ; ;
2) ; ; ; 3) ; ; ;
4) ; ; ; 5) ; ; .
3. Сумма всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений
равна
Варианты ответов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
4. Если – решение системы уравнений
то значение равно
Варианты ответов: 1) 5; 2) 3; 3) 1; 4) – 1; 5) 0.
5. Если – решение системы уравнений
то значение равно
Варианты ответов: 1) 0; 2) – 3; 3) – 51; 4) 1; 5) .
6. Если – решение системы уравнений
то значение равно
Варианты ответов: 1) 15; 2) – 11; 3) 0; 4) – 2; 5) 11.
7. Если – решение системы уравнений
то значение выражения равно
Варианты ответов: 1) 0; 2) ; 3) 1; 4) 12; 5) , где .
8. Если – определитель основной матрицы системы уравнений а – ее решение, то значение выражения равно
Варианты ответов: 1) 28; 2) 34; 3) 17; 4) – 14; 5) 0.
9. Система уравнений
1) совместная;
2) не совместная;
3) определенная;
5) не определенная.
10. Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют решение системы линейных уравнений
равна
Варианты ответов: 1) 2; 2) 8; 3) 28; 4) 4; 5) 0.
ВЕКТОРЫ
Основные понятия и определения
Вектором называют направленный отрезок. Начало и конец вектора обозначают двумя прописными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой и записывают: или .
| На рисунке 3.1 изображен вектор , у которого точка А – начало, а точка В – его конец, и вектор , у которого точка С – его начало, а точка D – его конец. | ||||||
Рис. 3.1 |
Нуль – вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор изображают точкой и записывают (рис. 3.1).
Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице.
Рассмотрим двумерное пространство с заданной в нем системой координат (рис. 3.2). На оси Ох отложим единичный вектор , начало которого совпадает с началом отсчета, а направление – с положительным направлением оси Ох. Аналогичным образом отложим на оси Оу вектор . Векторы и называют координатными векторами (ортами) прямоугольной системы координат. Любой вектор на плоскости можно разложить по ортам:
.
Говорят, что х и у – координаты вектора и записывают:
.
Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, называют радиус-вектором. На рисунке 3.2 вектор – радиус-вектор.
|
| |||||||||||||||||||
Рис. 3.2 | Рис. 3.3 |
Рассмотрим трехмерное пространство с заданной в нем декартовой системой координат (рис. 3.3). Единичные векторы , и – координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат.
Любой вектор пространства можно разложить по ортам:
.
Говорят, что х, у и z – координаты вектора и записывают:
.
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор задан в двумерном пространстве, и точка – его начало, а точка – его конец, то он имеет две координаты и , которые записывают в круглых скобках вслед за названием вектора или без названия вектора:
или .
Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка – его начало, а точка – его конец, то записывают: .
Например: 1) Если известны координаты точек и , то вектор будет иметь координаты: или . Вектор координаты: или . Вектор будет иметь координаты: .
2) Если известны точки и , то вектор будет иметь координаты:
или .
Координаты середины отрезка (середины вектора): если точки и – концы отрезка, а точка М – его середина, то точка М будет иметь координаты:
.
Например: 1) Если известны координаты точек и , то точка М, являющаяся серединой отрезка , будет иметь координаты:
или .
2) Если известны координаты точки , которая является серединой отрезка АВ, и координаты точки , то координаты точки найдем, решая уравнения:
, и ,
откуда , и .
Запишем: .
Длину вектора записывают и читают: модуль вектора или длина вектора .
Если известны координаты точек – начала и – конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле:
. (3.1)
Если известны координаты вектора , то длину вектора находят по формуле:
. (3.2)
Пример 1. Известны координаты вершин треугольника ABC: , и . Найдите периметр этого треугольника.
Решение. Согласно формуле 3.1 запишем:
;
;
.
Зная длины сторон треугольника, найдем его периметр:
, .
Ответ: .
Пример 2. Найдите длину вектора .
Решение. Согласно формуле 3.2 запишем: . Поскольку длина вектора равна единице, вектор – единичный.
Ответ: 1.
Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).
На рисунке 3.4 изображены коллинеарные векторы , , и . | |||||
Рис. 3.4 |
Условие коллинеарности векторов: векторы и коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть если выполняется равенство
. (3.3)
При этом, если:
а) , то векторы сонаправлены;
б) , то векторы противоположно направлены.
Например: 1) На рисунке 3.4 векторы и , а также и сонаправлены. Записывают: и .
2) На рисунке 3.4 вектор и , а также векторы и противоположно направлены. Записывают: и .
3) Векторы и коллинеарны, так как . А поскольку , то они противоположно направлены.
Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными.
| Вектор, противоположный вектору , записывают: или . А вектор, противоположный вектору , записывают: (рис. 3.5). | ||||
Рис.3.5 |
Например, векторы и противоположны, так как , и .
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными
На рисунке 3.6 изображен прямой параллелепипед. Векторы , и , а также векторы , и компланарны. Векторы , и , а также векторы , и не компланарны. | |||||||
Рис. 3.6 |
Условие компланарности трех векторов: векторы , и компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:
(3.4)