9. Степенная функция
Ф-я заданная формулой f(x)=xa называется степенной с показателем а.
Цели:
1)обобщить и системат-ть знания уч-ся о степ.ф-и,а также познак-ть с многообразием св-в и гр-ков степ.ф-и в завис-ти от знач-я оснований и показателей степени.
2)Научить решать простейш.иррац.ур-я и неравенства.
Учащиеся должны знать:
-Df и св-ва степенной функции
-Ф-лу произ-й степенной функции (xn)'=nxn-1
Учащиеся должны уметь:
-Применять св-ва степ.ф-и д/исслед-я ф-й и построения графиков
Уч-ся должны представлять себе эскиз гр-ка степ.ф-и у=ха для любого рац.показателя а:
1)Гр-к люб.степ.ф-и проходит ч/з точку (1;1)
2)аÎN, а-чет.-график похож на параболу
3)аÎN,а-нечет,а>1- на кубическую параболу
4)аÎZ, а-нечет, а<0 – на гиперболу
5)аÎZ, а-чет, а<0 – две ветви гиперболы, симметричные относительно Оу
6)аÎQ, a<0 – одна ветвь гиперболы
7)аÎQ,a>0–одна ветвь параболы, ориен-тированная вверх (а>1) и вправо (0<a<1)
Методические замечания
1.Введению степ.ф-и должно предшест-ть повторение уч-ся примеров степ.ф-и
2.изучение св-в степ.ф-и д.б.построено в соот-вии с общ.схемой исслед-я ф-й в зависимости от значений параметра а
3.сделать акцент на изучение этой темы:
в основной школе - аÎN,Z,Q
в старшей школе-аÎR(люб.действит.число)
4.сформировать у уч-ся умение применять общ.пр-ла работы с показателями: aaab=aa+b;(aa)b=aab
Набор заданий и упражнений:
1.Задачи на отработку свойств степеней
2.з-чи на тождеств.преобраз-ния степеней
3.з-чи,форм-щие графич.культуру учащихся
4.реш-е иррац.уравнений и неравенств
5.применение произв-й к степ.ф-и (найти произ-ю,найти знач-е произ-й в точке; Ур-е кас-ной;нах-ние максимума и минимума; вы-числ-е интегралов,площадей плоск. фигур)
Иррациональные уравнения
1)возведение в степень, если уравнение содержит один корень (радикал)
2)если ур-е содержит неск.радикалов, то применяются м-ды: замена пер-й; умн-е на сопряж.множ-ль; преобраз-е иррац.ур-я в систему рациональных уравнений.
Замечание: требуется постоянная проверка равносильности переходов от одного преобразования к другому
Иррациональные неравенства
1) √f(x)<g(x) 2) √f(x)>Ög(x) f(x)<(g(x))2 f(x)>=0
f(x)>=0 g(x)>=0
g(x)>0 f(x)>g(x)
3) √f(x)>g(x) 4) √f(x)<Ög(x)
f(x)>=0 f(x)>=0
g(x)<0 или g(x)>=0
f(x)>=0 f(x)<g(x)
g(x)>=0
f(x)>(g(x))2
10. Показательная ф-я
Сущ-ют 2 подхода к изуч-ю этой темы:
1 подход (Колм., Мордк.):Показ.ф-я изуч-ся в 11 кл позже темы «Произ-я» 10 кл.
«+»:можно опираться на пон-е произ-й при изуч-и св-в ф-и; «-»:таблица произ-х будет сначала неполнойÞу уч-ся не будет сформировано целост.пон-е произ-й элем.ф-и
2 подход (Никольский,Алимов):Показ.ф-ю (10 кл) изучают раньше произ-й (11 кл).
Редко встреч-ся подход,когда внутри самой темы меняются местами изуч-е показ.и лог. ф-и:лог.ф-я рассм.раньше показат.,а показат.ф-я вводится как обратная к лог-кой.
Осн.пон-я:1)степень с иррац.пок-лем; иррац.ур-я; 2)показ.ф-я,ее св-ва и гр-к; 3)тожд.преобр-я показ.выр-й; 4)реш-е показ. ур-й и нер-в с опорой на св-ва показ.ф-и; 5)произ-я показ. ф-и (ax)’=axlna; (ex)’= ex.
Цели: 1)Познакомить уч-ся с показ.ф-ей. 2)Обучить приемам реш-я показ.ур-й и нер-в.
Методич.замечания:
(1)Пон-е корня n степени и степени с рац.по-казателем явл.обобщением пон-й(ранее изученных) кв.корня и степени с цел.пок-лем.
(2)Необ-мо уделить вним-е отработке св-в степеней и фор-ю навыков тожд.преобр-й.
(3)Пон-е степени с иррац.пок-лем вводится на наглядно-интуитивной основе.
(4)Изуч-е св-в показ.ф-и д.б.построено в соотв.с общ.схемой исслед-я.
(5)Вывод ф-лы произ.показ.ф-и производится на нагл.-интуит.основе.
Рассм.дифф.ур-е роста(убывания)пок-ля, сле-дует отметить,что показ.ф-я выступает как матем.модель,используемая для описания реальных процессов.
| a>1
| 0<a<1
| | 1)D(y)=(-µ;+µ)
2)E(y)=(0;+µ)
3)Общ.вида,непериод.
4) на (-µ;+µ)
5)ограничена снизу 0, сверху не огранич
6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й
7)непрерывна
8)выпукла вверх ø
9)Ох-горизонт.ас-та при х®+µ
10)Произ.всегда >0
(2x)’=2xln2>0
| 1)D(y)=(-µ;+µ)
2)E(y)=(0;+µ)
3)Общ.вида,непериод.
4)¯ на (-µ;+µ)
5) ограничена снизу 0, сверху не огранич
6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й
7)непрерывна
8)выпукла вниз è
9)Ох-горизонт.ас-та при х®-µ
10)Произ.всегда <0
((1/2)x)’=(1/2)xln(1/2)<0
| Набор з-ч и упр-й: 1)Чтение гр-ка (по гр-ку описать св-ва). 2)Построение гр-ка показ.ф-и. 3)Тожд.преобр-я показ.выр-й. 4)Исслед.показ. ф-и с пом.произ-й. 5)Реш-е простейш.показ. ур-й и нер-в. 6)С-мы показ.ур-й и нер-в. 7)З-чи на отработку осн.приемов реш-я показ.ур-й и нер-в.
| 11. Логарифмическая ф-я
Сущ-ют 2 подхода к изуч-ю этой темы:
1 подход (Колм., Мордк.):Лог.ф-я изуч-ся в 11 кл позже темы «Произ-я» 10 кл.
«+»:можно опираться на пон-е произ-й при изуч-и св-в ф-и; «-»:таблица произ-х будет сначала неполнойÞу уч-ся не будет сформировано целост.пон-е произ-й элем.ф-и
2 подход (Никольский,Алимов):Лог.ф-ю (10 кл) изучают раньше произ-й (11 кл).
Редко встреч-ся подход,когда лог.ф-я рассм.раньше показат.,а показат.ф-я вводится как обратная к лог-кой.
Осн.пон-я:1)лог.числа,св-ва лог-мов; 2)лог. ф-я,ее св-ва и гр-к; 3)тожд.преобр-я лог.выр-й; реш-е лог.ур-й и нер-в с опорой на св-ва лог. ф-и; 4)пон-е нат.лог-ма,число е; 5)произ-я лог. ф-и (logax)’=1/(xlna); (lnx)’=1/x.
Цели: 1)Познакомить уч-ся с лог.ф-ей. 2)Обучить приемам реш-я лог.ур-й и нер-в.
Методич.замечания:
(1)При изуч-и лог.ф-и нужно обратить вним-е на пон-е взаимнообрат.ф-й на примере показ.и лог.ф-й с одинак.осн-ми. Св-ва лог.ф-и следуют из св-в показ.ф-и и Th об обрат.ф-и. Полезно чтобы уч-ся повторили эту Th.
Th Гр-ки взаимнообрат.ф-й f(x) и g(x) сим-ны отн-но у=х.
Эта Th дает возм-ть легко построить гр-к y=logax, т.к. уже известно,как выглядит гр-к ф-и y=ax.
Пр 
(2)Уч-ся должны усвоить обл-ти опр-я и обл-ти знач-я.
(3)Особ.вним.следует уделить осн.лог.тож-ву: alogab=b (b>0,a>0,a≠1),т.к.это св-во исп-ся при реш-и ур-й и нер-в.
| a>1
| 0<a<1
| | 1)D(y)=(0;+µ)
2)E(y)=(-µ;+µ)
3)Общ.вида,непериод.
4) на (0;+µ)
5)не ограничена ни сверху,ни снизу
6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й
7)непрерывна
8)выпукла вверх æ
| 1)D(y)=(0;+µ)
2)E(y)=(-µ;+µ)
3)Общ.вида,непериод.
4)¯ на (0;+µ)
5)не ограничена ни сверху,ни снизу
6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й
7)непрерывна
8)выпукла вниз è
| Набор з-ч и упр-й: 1)Чтение гр-ка (по гр-ку описать св-ва). 2)Построение гр-ка лог.ф-и. 3)Тожд.преобр-я лог.выр-й. 4)Исслед.ф-и с пом.произ-й. 5)Реш-е прост.лог.ур-й и нер-в. 6)З-чи на закрепление осн.лог.тож-ва alogab=b. 7)З-чи на закрепление ф-лы перехода к нов.осн-ю logab=logcb/logca. 8)З-чи на исполь-зование св-в показ.и лог.ф-й:
Пр log2(4+2x)+log2(1-2x)=7
log2((4+2x)(1-2x))=log227
(4+2x)(1-2x)=128…
9)З-чи на отработку осн.приемов реш-я лог. ур-й и нер-в.
Производная функции
$2 подхода к ведению осн.оп-ций мат. анализа (дифф. и интегр.).
1 подход (Колм.,Башм.,Мордк.): «Произ-я»-10кл,«Интеграл»-11 кл.Тема «Произ-я» включает 2 раздела: 1)Пон-е «произ.» и пр-ла дифф. 2)Прилож-я произ-й.
Таблица произ-х неполная, т.к. еще не все элем.ф-и изучены.
2 подход (Алимов,Никольский):Произ-я и инте-гралы изуч-ся др.за др.в 11 кл. с опорой на сформирован.пон-е класса элем.ф-й.Это осн. мат-л 1-го полугодия в 11 кл.
При этом подходе уч-ся логически подводятся к построению таблицы произ-х осн.элем.ф-й.
Цели: 1)Сист-ция знаний об изуч.ранее ф-ях. 2)Познакомить уч-ся с нов. м-дом исслед-я свойств ф-й. 3)Показать применение нов.м-да к реш-ю прикладн.з-ч. 4)Раскрыть роль дифф. для науки. 5)Форм-е науч.стиля мышления у уч-ся.
З-чи,приводящ. к пон-ю произ-й: 1)З-ча о мгновен.ск-ти (мех.смысл). 2)З-ча о кас-й к кривой (геом.смысл).
Актуализация: знаний: 1)ф-я числ.арг-та; 2)∆х, ∆у; 3)ск-ть неравномерн.движ-я,сред.и мгновен.ск-ть; умений: 1)находить знач-е ф-и в точке; 2)находить ∆у по заданному ∆х; 3)на-ходить сред.ск-ть неравномерн.движ-я.
Знания,кот. приобретают уч-ся:
(1)Пон-е произ-й,точки max и min.
(2)Алгоритм нах-ния произв.по опр-ю: а)фиксируем зн-е х;находим f(x); б)даем х приращение ∆х; f(x+∆х); в)нахо-дим ∆f=f(x+∆х)-f(x); г)составляем отн-е: ∆f/∆х; д)находим предел lim∆f/∆х при ∆х→0.
Примеч-е. Применяется пон-е «предельный переход»,т.к.уч-ся не изучают строго орп-е предела ф-и.
(3) Геом.смысл произ-й: y=f(a)+f’(a)(x-a)–ур-е кас-й в точке а.
(4) Физ.смысл произ-й:S(t),t0Þv(t)=S’(t),v(t0)=…
(5)Общ.схему исслед-я ф-и с пом. произ-й.
(6)Достаточ.усл-е монот-ти ф-и (f’(x)³0 ; f’(x)£0 ¯)
(7) Пр-ла дифф.: а) (u+v)’=u’+v’; б) (uv)’=u’v+uv’
в) (u/v)’=(u’v-v’u)/v2;
г) f’(x)=h’(g(x))g’(x) – сложная ф-я.
Пр y’=(cos23x)’=2 cos3x(-sin3x)3=-3sin6x
(8) Таблицу производных: 1)С’=0; 2)(kx+b)’=k 3)(xn)’=nxn-1; 4)(sinx)’=cosx; 5)(cosx)’=-sinx; 6)(tgx)’=1/cos2x; 7)(ctgx)’=-1/sin2x; 8)(ax)’=axlna; 9)(ex)’=ex; 10)(lnx)’=1/x; 11)(logax)’=1/(xlna)
Умения, кот.форм-ся у уч-ся:
(1)Нах-ть произ-ю в точке и на отрезке
(2)Применять произ.для исслед.ф-й:монотон-ность,наличие экстремумов,max и min на отрезке.
(3)Применять произ.для реш-я сюжет.з-ч (физ. и математических).
(4)Применять произ.для приближ.вычислений f(x+∆х)»f(x)+f’(x)∆х
Пр 
f(x)=  ; x=1; f(x)=1; f’(x)=1/(2 ); f’(1)=1/2; »1+∆х/2.
| Сложная функция
1. Понятие сложной функции
Рассм. фун-ю y=f(x). Аргументом м.б. какое-либо выр-е, например,
Пр.  Найти 
Пусть f и g – 2 фун-и (y=f(x), x=g(t)).
Подставив вместо х в фун-ю y x=g(t), получим новую фун-ю, в которой аргументом будет t: y=f(g(t)). Эта фун-я наз-ся сложной фун-й или композицией ф-й f и g.
Обозначение: f  g=f(g(t)).
2. Св-ва композиции фун-й
Пр. y1=x2, y2=  , y1 y2 -?; y2 y1-?
y1 y2=  ; y2 y1=  y1 y2 ≠ y2 y1.
1 св-во: операция композиции фун-ий не коммутативна
Если t  D(g),то фун-я y=f(g(t)) не определена, т.к. чтобы вычислить y, надо найти g(t).
2 св-во: D(y)  D(g), g- внутр. фун-я
Пр. f(x)=  g(t)=t2+1
D(g)=R
y=f(g(t))= 
D(y)=(-µ;1)  (-1;1) (1; +µ) D(g).
3. Производная сложной функции
1. По определению y= 
∆x≠0, х+∆x  D(y)
y(х+∆x)= 
∆y=  - 
lim(∆x→0) ∆y/∆x=3/2*√3х+1
 
2. Заполняем таблицу
| y(x)
| f(u)
| f| (u)
| 
| y|(x)
| | (x+1)2
| u2
| 2u
|
| 2(x+1)
| | sin2x
| sinu
| cosu
|
| 2cos2x
| 
| √u
| 1/2√u
|
| 
| 3. Алгоритм
1) u=g(x)
2) f| (u), g|(x)
3)y|=f|(u)*g|(x) 
Оценка учебников
1. место темы в шк. курсе
2. введение понятия слож. фун-и
Башмаков
1)Понятие вводится в заключ. беседе главы «Фун-я и графики». Автор считает, что изучение этого понятия не обязательно.
2)Сразу вводится определение и обознач., рассм. пример; даётся алгоритм составления слож. ф-и в зависимости от порядка ф-й; рассм. св-ва операции композиции ф-й.
Колмогоров
1) Понятие вводится в главе «Произв. и её применение» в пункте «произв. слож. ф-и»
2) Понятие вводится посредством примера; опред. и обознач.; алгоритм вычисления слож. ф-и в точке; рассм. вопрос об обл. определения сл. ф-и.
Виленкин (углуб)
1) В главе «Фун-и и последов» вводится понятие сл. ф-и и термин композиции фун-ий, как операция над фун=й.
2) Рассм. примеры, опред. и обознач., алгоритм составления композиции фун-й f и g.
Алимов
1) Тема не рассм и понятие сл. ф. не формируется. Но упр-я, связанные со слож. фун-ей, разбросаны по всему учебнику.
2) Специального параграфа нет.
Муравин
1) Понятие ввод. в главе «Техника дифф» в параграфе «Слож.ф-я». Даётся формула дифф. слож. фун-и. Материал обязательный
2)Понятие ввод. на примере, в кот. док-ся возрастание слож. ф-и в силу возраст-я элем. фун-й, входящих в её состав. Определения и обознач. нет. Область опред-я и св-ва слож фун-и не рассм.
Дорофеев
1) Понятие ввод. в главе «Фун-я и графики», но параграфа нет. Ввод. посредством примера, в кот. сл. ф-я непрерывна в силу непрерывности элем. фун-й, входящих в её состав.
2)Даётся Th о непрерывности слож. фун-и; y=f(g(x)), где f- внешняя, g- внутр. Приводится пример.
|
Поиск по сайту:
|
- период
симметрия относит. (0;0); периодич. на всей числовой оси.
y=cosx
Св-ва фун-и y=cosx аналогично рассматрив-ся. Поэтому целесообразно ввести фун-ю y=cosx с использованием формул приведения
cosx=sinx(x+ 
/2)
Эти фун-и имеют одинаковые по форме графики в силу параллельного переноса графика фун-и y=sinx на вектор (- 
Замечание: св-ва фун-и y=cosx учащиеся могут сформулировать самостоят., опираясь на св-ва sinx и построенного графика.
1. D(f)=(-∞:+∞)=R
2. чёт, cos(-x)=cosx → график симм. относ Oy
3. периодич., Т=2 
y↓ на 
5. огранич. сверху и снизу: -1≤cosx≤1
6. yнаим=-1 для t= 
yнаиб=1 для t= 
7. непрерывна на R
8. E(f)=[-1;1].
y=tgx
1. D(f)=R, кроме x= 
Показываем уч-ся систему координат, на которой пунктиром отмечены прямые. Графиком будет множ-во ветвей м/у пунктир. линиями.
2. периодич., Т= 
- период
tg(x- 
до 
, затем будем сдвигать по Ox вправо и влево на 
5. не огранич. ни снизу, ни сверху.
6. не имеет ни наим., ни наиб. зн-я
7. непрерывна на 
, фун-я терпит разрыв→эти прямые будут вертикальными асимптотами.
8. E(f)= (-∞:+∞).
9. График:
y=ctgx
Уч-ся предлагается самостоятельно построить график ф-и y=-tg(x+ 
После этого обосновывается, что построили график фун-и y=ctgx, т.к. ctgx=-tg(x+ 
/2).
Уч-ся сами могут описать св-ва y=ctgx, опираясь на св-ва tgx и построенный график.
1. D(y)=R, кроме x= 
5. не огранич. ни св., ни снизу
6. не имеет ни мин, ни максим. значения
7. непрерывна на