ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА
Кафедра физики
Лабораторная работа № 102
ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ.
ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫШТЕЙНЕРА
студента: ___________________________________ группы: _______
| ДОПУСК | ВЫПОЛНЕНИЕ | ||
| дата | подпись | дата | подпись |
ТАГАНРОГ 2012
1. Изучаемое физическое явление:
Динамика вращательного движения твердого тела, момент силы, момент инерции, момент импульса материальной точки и твердого тела, основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
2. Формулировка поставленной задачи:
Измерить момент инерции маховика и вкладыша. Проверить теорему Штейнера.
3. Таблица характеристик измерительных приборов:
| Название прибора | Диапазон измерений | Число делений | Класс точности | Приборная погрешность | Цена деления |
| линейка | |||||
| секундомер |
Описание лабораторной установки и вывод расчетных формул.
Для измерения моментов инерции маховика и вкладыша, а также для проверки теоремы Штейнера используется экспериментальная установка, изображенная на рис. 1: при измерении времени ускоренного вращения маховика (рис. 1а) и при измерении времени замедленного вращения маховика (рис. 1б).
Экспериментальная установка состоит из массивного маховика 1, представляющего собой диск с восемью цилиндрическими отверстиями для вкладышей 2, расположенными симметрично оси маховика. Маховик насажен на вал 3, закрепленный горизонтально в подшипниках качения 4. В вале 3 маховика имеется отверстие, в которое вставляется штырь, прикрепленный к одному из концов нити 5. К другому концу нити 5 прикреплен крючок, на который подвешивается груз 6. Нить наматывается на вал 3 маховика и перебрасывается через легкий блок 7, который установлен на верхнем конце вертикальной стойки 8. Блок 7 можно поворачивать вокруг оси стойки с помощью поворотного устройства 9. В необходимое положение блок устанавливается рукоятками 10 и фиксируется прижимным винтом 11. На вертикальной стойке также закреплена линейка 12 для измерения перемещения груза при его движении. Перемещение груза отсчитывается от его нижнего основания в момент касания верхней точки клавиши выключателя В1 или В2. Время движения груза измеряется электронным секундомером. Включение и выключение секундомера осуществляется выключателями В1 и В2 соответственно. В исходном состоянии должны быть нажаты левая сторона клавиши выключателя В1 (контакты В1 разомкнуты) и правая сторона клавиши выключателя В2 (контакты В2 замкнуты).
В исходном состоянии груз 6 поднят на заданную высоту Н и удерживается в этом положении посредством внешнего воздействия на маховик. Если освободить маховик от внешнего воздействия, то система под действием сил, указанных на рис. 1, придет в движение.
Запишем второй закон Ньютона для опускающегося груза
,
где m – масса груза; 
– ускорение груза; 
– сила натяжения нити.
В проекции на ось OZ (рис. 1) это уравнение имеет вид:
. (1)
Рис. 1. Экспериментальная установка:
а) – при измерении времени ускоренного вращения маховика;
б) – при измерении времени замедленного вращения маховика
Запишем основной закон динамики вращательного движения для маховика
,
где 
– угловое ускорение маховика при ускоренном движении; 
– вращающий момент силы T 2; 
– момент сил трения в подшипниках 4.
В проекциях на ось OY (рис. 1)
. (2)
Здесь M и M mp – моменты относительно оси маховика; направление вращающего момента M определяется правилом правого винта (M = T 2 r, r – радиус вала маховика); момент сил трения M mp направлен в обратную сторону.
Пренебрегая массами блока 6, нити 5, а также трением в подшипниках оси блока, можно записать, что T 1 = T 2 = T. Тогда уравнения (1) и (2) примут вид
, (3)
. (4)
Для нерастяжимой нити величина ускорения груза будет равна касательному ускорению точек поверхности вала маховика, т.е.
.
Учитывая, что 
и 
, получим
. (5)
Решая совместно уравнения (3) – (5), получим
. (6)
Ускорение опускающегося груза можно определить, зная высоту H и время опускания груза t 1, по соотношению
. (7)
Соотношение, связывающее искомую величину I с экспериментально определяемыми m, r, H и t 1, получим из (6) с учетом (7):
. (8)
В экспериментальной установке длина нити подобрана так, что в момент касания грузом выключателя нить отделяется от вала маховика. С этого момента на маховик действует только момент сил трения в подшипниках вала. Поэтому уравнение движения маховика на основании основного закона динамики вращательного движения примет вид
, (9)
где ε 2 – угловое ускорение равнозамедленного движения маховика.
Поскольку конечная угловая скорость равноускоренного вращения маховика ω 1 равна начальной угловой скорости его равнозамедленного вращения ω 2 (ω 1 = ω 2), то, зная время равнозамедленного вращения t 2, можно записать:
, откуда 
. (10)
Подставляя (10) в (9) с учетом (5) и (7), получим соотношение для M mp:
. (11)
Из (8) и (11) получим расчетное соотношение для момента инерции маховика
. (12)
Величины m, r и H, входящие в расчетную формулу (12), являются параметрами экспериментальной установки и заданы в табл. 1, а t 1 и t 2 необходимо измерить опытным путем.
Поскольку момент инерции – величина аддитивная (момент инерции целого равен сумме моментов инерции отдельных частей), то момент инерции маховика с вкладышами относительно оси вращения маховика равен
, (13)
где I n – момент инерции маховика с n вкладышами относительно оси вращения маховика;
I 0 – момент инерции маховика без вкладышей относительно оси вращения маховика;
I в – момент инерции одного вкладыша относительно оси вращения маховика;
n – число вкладышей (n ≤ 8).
Таким образом, экспериментальное значение момента инерции одного
вкладыша I в относительно оси вращения маховика можно определить по результатам экспериментальных измерений I n и I 0 по формуле
. (14)
Вкладыш маховика является прямым круговым цилиндром. Это позволяет непосредственно по радиусу вкладыша r в, массе вкладыша m в, а также расстоянию
Рис. 2.
| между осью вращения маховика и осью симметрии вкладыша d (см. рис. 2) рассчитать теоретическое значение момента инерции одного вкладыша относительно оси вращения маховика I вт по теореме Штейнера. Согласно теореме Штейнера момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, но проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями
 , (15)
где I в0 – момент инерции вкладыша маховика относи-
|
тельно оси симметрии вкладыша, который равен
.
5.Формулы для оценки погрешностей косвенных измерений.
6. Обработка результатов измерений.
Параметры экспериментальной установки
| Масса груза | Высота | Радиус вала маховика | Радиус вкладыша | |||||
| <m >, кг | Δ m, кг | <Н >, м | Δ Н, м | <r >, м | Δ r, м | <r в>, м | Δ r в, м | |
| 716·10-3 | 2·10-3 | 750·10-3 | 2·10-3 | 7,5·10-3 | 0,1·10-3 | 15·10-3 | 0,1·10-3 |
| Расстояние между осями маховика и вкладыша | Число вкладышей | Масса вкладыша | |||
| < d >, м | Δ d, м | n | <m в1>, кг | Δ m в2, кг | |
| 55·10-3 | 0,1·10-3 | 116·10-3 | 2·10-3 |
Оценка погрешности измерения времени ускоренного вращения маховика t 1
| № серии | t 1, с | < t 1 >, с | ε, с | ε2, с2 | Sn, с | t a a=0,95 | Δ t 1, с | t 1 = < t 1 > ± Δ t 1, с |
| 7,18 | 7,16 | -0,2 | 0,04 | 0,22 | 4,3 | 0,952 | 7,16±0,952 | |
| 7,12 | 0,4 | 0,16 | ||||||
| 7,19 | -0,3 | 0,09 | ||||||
| 5,47 | 5,44 | -0,3 | 0,09 | 0,39 | 4,3 | 1,677 | 5,44±1,677 | |
| 5,53 | -0,9 | 0,81 | ||||||
| 5,32 | 0,12 | 0,144 |
Оценка погрешности измерения времени замедленного вращения маховика t 2
| № серии | t 2, с | < t 2 >, с | ε, с | ε2, с2 | Sn, С | t a a=0,95 | Δ t 2, с | t 2 = < t 2 > ± Δ t 2, с |
| 30,41 | 30,43 | 0,2 | 0,04 | 0,3 | 4,3 | 1,29 | 30,43±1,29 | |
| 30,53 | 0,1 | 0,01 | ||||||
| 30,36 | 0,7 | 0,49 | ||||||
| 23,21 | 23,13 | -0,8 | 0,64 | 0,34 | 4,3 | 1,462 | 23,13±0,34 | |
| 23,11 | 0,2 | 0,04 | ||||||
| 23,08 | 0,05 | 0,0025 |
Средние значения и погрешности моментов инерции
| < I 0>, кг·м2 | 0,34* 10-3 = 0,00134 | Δ I n, кг·м2 | 0,00253 |
| δ I 0, %, кг·м2 | 0,141223=13% | Δ I n, кг·м2 | 0,00262 |
| δ I 0, % | 0,000734 | < I в >, кг·м2 | 0,002815 |
| Δ I 0, кг·м2 | 0,984 | Δ I в, кг·м2 | |
| < I n>, кг·м2 | 19% | δ I в, % | 16% |
| δ I n, % | I вт, кг·м2 | 0,000892 |
ВЫВОД: __________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________