Дифференцирование оригинала

Введение.

Операционное (символическое) исчисление применяется для решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, дифференциально-разностных уравнений и интегральных уравнений типа свертки, к которым приводятся задачи главным образом по переходным процессам линейных физических систем электротехники, радиотехники, импульсной техники, теории автоматического регулирования и других отраслей науки и техники.

Метод символического исчисления основан на том, что над оператором дифференцирования и некоторыми функциями этого оператора производится определенная система действий. В этой системе действий дифференцирование функции рассматривается как умножение оператора на функцию этого оператора , а интегрирование как деление на оператор функции этого оператора .

I.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

1.Оригинал и изображение.

Определение. Оригиналом называется функция , определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая следующим условиям:

1. непрерывна во всей области определения, за исключением, может быть, конечного числа точек разрыва I рода на каждом отрезке конечной длины;

2. при ;

3. при возрастает не быстрее некоторой экспоненциальной функции, то есть существуют такие числа , что для всякого выполняется неравенство , где наименьшее из чисел , при котором выполняется неравенство, называется показателем роста оригинала.

Замечание 1. Оригинал может принимать действительные значения и может быть комплексной функцией действительного переменного, то есть иметь вид Каждая из функций должны удовлетворять условиям оригинала.

Замечание 2. В дальнейшем для краткости записи будем писать . Под этим будем понимать следующее:

Пример 1. Показать, что функция

является оригиналом.

Решение. 1) Функция непрерывна для

2) она равна нулю при

3) .

Оценим модуль этой функции

 

Таким образом, Так как функция удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к оригиналу, то она является оригиналом.

Пример 2. Функция не является оригиналом, так как при имеет разрыв второго рода.

Если - оригинал, то, очевидно, будет оригиналом с тем же показателем роста;

-линейная комбинация оригиналов – есть оригинал;

-если - оригинал, то ( - положительное число), ( - действительное число), ( - комплексное число), тоже будут оригиналами.

Определение. Изображением функции называется функция комплексного переменного , которая определяется равенством

(1)

Интеграл (1) называется интегралом Лапласа функции . Операция перехода от оригинала к изображению называется преобразованием Лапласа. Теория преобразования Лапласа называют операционным исчислением. Тот факт, что и относятся друг к другу как оригинал и изображение, записывают так: или

Можно доказать, что при выполнении условий 1-3 для функции несобственный интеграл сходится абсолютно и равномерно при

Упражнения. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.

Ответ: 1.да; 2.да; 3. нет; 4. да; 5. да; 6. нет; 7. нет; 8. да; 9. нет; 10. да; 11.да.

2. Единичная функция Хевисайда и ее изображение.

Определение. Единичной функцией Хевисайда называется функция вида

График функции имеет вид

Любой оригинал при помощи единичной функции может быть записан в виде . Легко показать, что является оригиналом. Найдем его изображение. Для этого применим преобразование Лапласа

Найдем . Так как , а , то Таким образом,

3. Некоторые теоремы об изображении.

Теорема 1 (о существовании изображения).

Всякий оригинал имеет своим изображением функцию комплексного переменного , определенную в полуплоскости , где - показатель роста оригинала (рис.1).

 

Рис.1.

Теорема 2 (о поведении изображения на бесконечности).

Если функция - изображение, то

Для этой теоремы нет обратной, то есть из условия

не следует, что -изображение.

Пример 1. Функции не стремятся к нулю при и поэтому не могут служить изображениями.

Пример 2. Функция при , но не существует функции , для которой было бы

изображением.

Теорема 3 (о линейности изображения)

Если и , то , где - комплексные постоянные.

Теорема 4(об аналитичности изображения)

Если функция является изображением некоторого оригинала , то - функция аналитическая в полуплоскости , где - показатель роста оригинала.

4. Изображение простейших оригиналов

1. Пусть , где Тогда , то есть Действительно, так как при , то на основании теоремы 3 имеем при .

2. . Найдем по определению

если , и , если

Таким образом если

3. , ( - положительное число). Выразим косинус через показательные функции:

Зная, что при , и учитывая свойство линейности изображения, получим

Так как в данном случае , то , и, следовательно, при .

4. , ( - положительное число). Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, и учитывая, что , получим

при .

5. , ( - положительное число). Запишем в виде: Тогда

,

при .

при .

6. , ( - положительное число). Используя формулу , получим

при .

Пример. Найти изображение заданных функций

а) ; б) в) ; г) .

Решение.

а)

б)

в)

г)

Упражнения. Пользуясь определением, найти изображения следующих функций:

1. 2. 3. 4.

Ответы: 1. 2. 3. 4.

 

II ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

1. Теорема подобия

Если , то для любого

Пример. Найти изображение следующих функций:

а) ; б)

Решение. а) Преобразовав по формулам тригонометрии, получим , и, следовательно,

б) Аналогично,

Упражнения. Пользуясь теоремами линейности и подобия, найти изображения следующих функций:

1. 2.

3. 4.

Ответы: 1. 2.

3. 4.

 

2. Теорема смещения

Если , то для любого при

Пример 1. Найти изображение функций:

а) б) в) г)

Решение. Так как

то применяя теорему смещения, получим:

а) б)

в) г) .

Пример 2. Найти изображение функции

Решение. Представим в виде:

Тогда

=

Упражнения. Найти изображения функций:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11.

Ответы: 1.

2.

3.

4.

5. 6. 7.

8. 9. 10.

11.

 

3. Теорема запаздывания

Если , то для любого .

По определению оригинала имеем:

График функции сдвинут по оси относительно графика функции на величину . Процесс, описываемый функцией , начинается как бы с опозданием на время , относительно процесса, описываемого функцией . Отсюда и появился термин «запаздывание». Исходя из физического толкования, теорему запаздывания можно сформулировать так: запаздывание оригинала на положительную величину соответствует умножению изображения на .

Пример 1. Найти изображение функции

Решение. Запишем функцию в виде

График этой функции имеет вид

Рис.2.

Так как изображением функции является , то используя теорему запаздывания, получим

Пример 2. Найти изображение функции

Решение.

Пример 3. Найти изображение функции

Решение. Представим функцию в виде

Тогда

Теорема запаздывания является удобным способом для нахождения изображений кусочно-непрерывных оригиналов, заданных графически.

Пример 1. Найти изображение функции, заданной графически:

Запишем аналитическое выражение для функции

Функцию с помощью обобщенной единичной функции можно записать формулой:

Находим изображение оригинала Имеем , так как и

Пример 2. Найти изображение функции

Решение. Построим график функции

Используя функцию Хевисайда, запишем в виде:

Теперь перейдем от оригинала к изображению, используя теорему запаздывания:

Упражнения. Найти изображения следующих функций, заданных графически:

 

1. 2.

 

 

3. 4.

 

 

 

5.

 

6.

 

 

Ответы: 1. 2. 3.

4. 5. 6.

Пример 3. Найти изображение периодической с периодом функции .

Решение. Введем функцию

Тогда , так как при , в силу периодичности. Переходя к изображениям, получим:

, где

Следовательно,

Пример 4. Найти изображения периодических функций:

1.

Решение. Функция имеет много общего с тригонометрической функцией , поэтому она называется прямоугольным синусом.

 

 

Находим изображение .

Получим

или

Пример 5. Найти изображение периодической функции

 

 

Перейдя к изображению, получаем

или .

 

Упражнения. Найти изображения периодических функций:

1.

2.

3.

4.

5.

Ответы: 1. 2. 3.

4. 5.

 

 

Дифференцирование оригинала

Если и существует функция , являющаяся оригиналом, то

, где .

Предположим теперь, что -раз непрерывно дифференцируемая на функция и является оригиналом. Тогда, используя полученное соотношение , получим:

Следствие. Если начальные условия нулевые, то есть ,то

Пример 1. Зная, что , найти изображение для функции .

Решение. Так как , то

Отсюда: .

Пример 2. Найти изображения дифференциальных выражений при заданных начальных условиях:

а)

б)

Решение. По теореме дифференцирования оригинала имеем:

а)

Тогда

б)

Тогда

Упражнения. Найти изображения дифференциальных выражений при заданных начальных условиях:

1. при условии .

2. при условии

3. при условии

4. при условии .

5. при условии .

5. Интегрирование оригинала

Если , то является оригиналом и имеет место соотношение

Таким образом, интегрирование оригинала соответствует делению на изображения подынтегральной функции.

Пример 1. Найти изображение оригинала .

Решение. Так как , то .

Пример 2. Найти изображение оригинала .

Решение. Преобразуем следующим образом

.

Тогда .

Упражнения.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Ответы: 1. . 2. 3.

4. 5. 6.