Дифференцирование изображения

Если , то .

Следствие. Используя это свойство легко получить следующие соотношения:

В частности, если , то

Таким образом, .

Пример 3. Найти изображение функций:

а) б)

Решение. а) Так как изображение оригинала , то

Или .

б) Имеем . Тогда по следствию

Упражнения. Найти изображения следующих функций:

1. 2. 3.

Ответы: 1. 2. 3.

7. Интегрирование изображения.

Если и является оригиналом, то имеет место соотношение

Пример 1. Найти изображение функции .

Решение. Известно, что Тогда

Таким образом,

Пример 2. Найти изображения функций:

1. (интегральный синус)

2. (интегральный гиперболический синус).

Решение.

1. Из равенства , по теореме интегрирования изображения, имеем Отсюда, по теореме интегрирования оригинала, получим

2. Имеем или

Упражнения.

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

Ответы: 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

Свертка функций. Свойства свертки. Изображение свертки.

1) Пусть и - непрерывные функции на .

Определение. Сверткой функций и , называется функция от обозначаемая и определяемая интегралом вида , то есть

= .

Пример. Найти свертку функций .

Решение.

2) Свойства свертки.

а) Коммутативность.

Выражение для свертки функций не зависит от порядка, в котором берутся эти функции, то есть =

или = .

б) Ассоциативность: .

в) Рефлексивность: .

г) Если и - оригиналы, то их свертка - тоже оригинал.

Пример. Для оригиналов проверить свойство коммутативности свертки.

Решение. Найдем

Аналогично

Таким образом, = .

3) Теорема Э.Бореля (теорема умножения изображений).

Если и , то свертке функций соответствует произведение изображений.

= , где - показатели роста оригиналов и .

Пример. Найти изображение свертки следующих оригиналов:

а) б)

в)

Решение. а) Так как , то

б) Аналогично, , поэтому

в) Данный интеграл можно рассматривать как свертку оригиналов и . Известно, что , и, следовательно,

= .

Интеграл Дюамеля

Пусть и - оригиналы, непрерывные и дифференцируемые на , являются оригиналами. Тогда, если и , то

Эта формула называется формулой Дюамеля и применяется для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Интеграл, стоящий слева называется интегралом Дюамеля. В силу свойства коммутативности свертки формула Дюамеля может быть записана также в виде

;

III. ФОРМУЛЫОБРАЩЕНИЯ ЛАПЛАСА

Формула, позволяющая по известному изображению определить ее оригинал , называется формулой обращения. Общий способ нахождения оригинала по данному изображению дают следующие теоремы:

1.Теорема обращения. Теорема единственности.

Если - оригинал, а - его изображение, то во всех точках непрерывности оригинала имеет место соотношение

(2)

Здесь интегрирование производится по любой бесконечной прямой , лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа от функции , - показатель роста оригинала (рис.3). Формула (2) носит название формулы Римана-Меллина

Теорема единственности. Если два оригинала и имеют одно изображение , то функции и совпадают во всех точках непрерывности.

Замечание. Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно, и обычно применяют теоремы разложения, являющиеся следствиями из нее.

2. Обобщенная теорема разложения.

Если - изображение, то его оригинал может быть найден по формуле , где - особые точки функции

3. Нахождение оригинала для дробно-рационального изображения.

При нахождении оригинала для изображения, являющегося правильной рациональной дробью вида , где и - полиномы, можно пользоваться теоремами:

Теорема 1. Если изображение является правильной рациональной дробью, то есть , где имеет

только простые корни , то оригинал находится по формуле:

. (3)

Теорема 2. Если изображение есть правильная рациональная дробь, то есть , где имеет корни кратности , то оригинал находится по формуле:

. (4)

Пример 1. Найти оригинал для изображения .

Решение. Знаменатель дроби имеет простые корни Тогда по формуле (3), учитывая,

что , получим

Замечание. Если функция имеет комплексно-сопряженные полюсы , то легко показать, что и вычеты функции в этих точках будут комплексно-сопряженными, поэтому их сумма равна удвоенной действительной части, то есть

С учетом последнего замечания получаем:

Пример 2. Найти оригинал для изображения .

Решение. Корни знаменателя кратности , кратности . Тогда по формуле (4)

где

4) Элементарный метод

Во многих случаях заданное изображение можно преобразовать к такому виду, когда оригинал легко восстановить непосредственно с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы изображений. Для преобразования изображения в этом случае применяют метод разложения рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Пример 1. Найти оригинал для изображения .

Решение. Применяя теорему запаздывания, получим

Пример 2. Найти оригинал для изображения .

Решение. Так как , то применяя теорему об интегрировании оригинала, получим:

Пример 3. Найти оригинал для изображения

Решение. Можно заметить, что , и, следовательно, по свойству дифференцирования изображения имеем

Пример 4. Найти оригинал по изображению

Решение. 1 способ. Известно, что . Тогда по теореме Бореля имеем: . Найдем свертку

Таким образом,

2 способ. Разлагаем на сумму простейших дробей:

Отсюда

Тогда

Пример 5. Найти оригинал для изображения

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат и воспользуемся теоремой смещения:

Пример 6. Найти оригинал для изображения

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат и воспользуемся теоремой смещения:

Пример 7. Найти оригинал для изображения

Решение. Найдем вначале оригинал для дроби . Известно, что . Используя теорему смещения, имеем . Умножение изображения на соответствует запаздыванию оригинала, поэтому

Упражнения. Найти оригиналы для данных функций

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Ответы: 1. 2.

3. 4.

6. 7.

8. 9.

IV. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

1.Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем

Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

. (5)

Требуется найти решение уравнения для при начальных условиях

. (6)

Предполагаем, что искомое решение , его производные и правая часть дифференциального уравнения являются оригиналами.

Схема решения дифференциального уравнения.

1. Заменяем искомую функцию, ее производные, входящие в данное дифференциальное уравнение и правую часть их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.

2. Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.

3. Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.

Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения , если .

Решение. Пусть , тогда

Переходя в уравнении от оригиналов к изображениям, получим операторное уравнение

Отсюда . Так

как корни знаменателя различны, то

Ответ:

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения

, если

Решение. Пусть , тогда

, и по теореме смещения .

Переходя в уравнении от оригиналов к изображениям, получим операторное уравнение

Отсюда Разложим изображение на элементарные дроби. Имеем

или

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим

Тогда Перейдя к оригиналу,

пользуясь свойством линейности и теоремой смещения, получаем искомое решение

Ответ:

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения , .

Решение. Пусть ; ;

; .

Запишем операторное уравнение:

Откуда

= =

= .

Используя теорему линейности и формулы соответствия, имеем:

. Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , .

Решение.

Используя формулы соответствия и теорему линейности, имеем:

Пример 3. Найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Пусть , ,тогда

Преобразованная система имеет вид:

Определим :

Найдем по и оригиналы и . Пусть

Тогда

+ .

;

Ответ:

Упражнения.

Ответ:

10.

Ответ:

11.

Ответ:

Упражнения. Найти частные решения дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями:

12.

Ответ:

13.

Ответ:

14.

Ответ: .

15.

Ответ:

16.

Ответ:

17.

Ответ:

Решить системы уравнений:

18.

Ответ: .

19.

Ответ: .

20.

Ответ:

21.

Ответ: .

22.

Ответ:

23.

Ответ:

24.

Ответ:

25.

Ответ:

26.

Ответ:

27.

Ответ:

28.

Ответ:

2. Применение формулы Дюамеля для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

При решении дифференциальных уравнений иногда удобно использовать формулу Дюамеля. В этом случае не требуется находить изображение правой части.

Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения

; , (7)

где .

Рассмотрим вспомогательную задачу

, . (8)

Если - решение задачи (8), то при помощи интеграла Дюамеля можно найти решение задачи (7) с любой правой частью и нулевыми начальными условиями:

или . (9)

Замечание. Задачу с ненулевыми начальными условиями заменой искомой функции всегда можно свести к задаче с нулевыми начальными условиями.

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Найдем решение задачи , Составим операторное уравнение . Отсюда , поэтому По формуле (9) получим:

Упражнения. С помощью интеграла Дюамеля найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

29.

Ответ:

30.

Ответ:

31.

Ответ:

32.

Ответ:

33.

Ответ:

34.

Ответ:

35.

Ответ:

36.

Ответ: .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления. М.: Наука, 2001.Т.2.- 576 с.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. - М.: Наука, 1980.-336 с.

3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М.: Наука, 1981.-302 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II -М.: Высшая школа, 1986 г.

5.Сборник задач по математике для втузов. Ч.2. Специальные разделы математического анализа. Под редакцией А.В.Ефимова и Б. П. Демидовича. - М.: Наука,1986. -368 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы

по изучению раздела «Операционное исчисление»

курса математический анализ

для студентов специальностей

220300 «Системы автоматизированного

проектирования», 220100 «Вычислительные

машины, комплексы, системы и сети»

дневной формы обучения

Глушко Елена Георгиевна

Дубровская Алевтина Петровна

Провоторова Елена Николаевна

ЛР № 066815 от 25.08.99. Подписано к изданию 20.01.2015.

Уч.-изд.л.3,5. «С»

Издательство

Воронежского государственного технического университета

394026 Воронеж, Московский просп., 14

Дифференцирование изображения

Поиск по сайту