Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.
Градусная мера угла в 1 радиан равна:
Так как дуга длиной π R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180 °, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.
И наоборот
Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°
Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна
И наоборот
Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.
Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π
Вопрос 2. Вращательное движение
Углы и их измерение
Пусть даны два совпадающих луча - подвижный и
- неподвижный. И пусть луч
поворачиваясь в плоскости вокруг точки
, совершит некоторый поворот. Такой поворот, при котором луч
впервые опять совпадет с лучом
, называется полным оборотом.
Пусть луч совершил некоторый поворот, тогда говорят, что он задает угол
, соответствующий этому повороту. Другим определением угла является геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки
, которая называется вершиной угла. Луч
носит название начала отсчета и обычно направлен горизонтально вправо.
Градусная мера угла
Поворот, равный полного оборота против часовой стрелки задает угол в один градус. Различают также следующие доли градуса: 1 минута = 1’ = 1/60 градуса; 1 секунда = 1’’ = 1/60 минуты = 1/3600 градуса.
Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота – прямым.
Радианная мера угла
Рассмотрим два луча
- подвижный и
- неподвижный. Выберем на них точки
и
, которые в начальный момент времени совпадают. При повороте точка
будет описывать окружность радиуса
. Повернем подвижный луч
так, чтобы точка
прошла расстояние, равное радиусу:
, тогда луч
составит с лучом
угол в один радиан.
|
Если повернуть подвижный луч так, чтобы точка
прошла расстояние
, тогда луч
составит с лучом
угол в
радиан.
При совершение полного оборота точка проходит расстояние, равное длине окружности
, значит полный оборот соответствует углу
радиан.
Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны - это число, равное 3,14… с другой стороны это угол, соответствующий 180о. Таким образом, нетрудно установить взаимооднозначное соответствие между углами от 0 до 360о и действительными числами от 0 до
. Для того, чтобы понять, как поставить в соответствие углы числам, превышающим
, следует вспомнить, что совершив полный оборот подвижный луч возвращается в исходное положение, т.е. любым углам, различающимся на
или кратное им будет соответствовать одно и то же взаимное положение подвижного или неподвижного лучей. Отрицательные же углы соответствуют повороту подвижного луча против часовой стрелки. Таким образом, любое действительное число представляет собой радианную меру какого-либо угла и наоборот, любому углу можно поставить в соответствие действительное число.
Вопрос 3. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.
Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
|
Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный (где точка
) и подвижный
(где точка
). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол
.
Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом
, называется синусом угла
:
.
Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом
, называется косинусом угла
:
.
Таким образом, точка , являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол
, имеет координаты
.
Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу:
,
,
.
Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу:
,
,
.
Геометрический смысл тригонометрических функций
Геометрический смысл синуса и косинуса на тригонометрической окружности понятен из определения: это абсцисса и ординат точки пересечения подвижного радиуса, составляющего угол
с неподвижным радиусом, и тригонометрической окружности. То есть
,
.
Рассмотрим теперь геометрический смысл тангенса и котангенса. Треугольники подобен
по трем углам (
,
), тогда имеет место отношение
. С другой стороны, в
, следовательно
.
Также подобен
по трем углам (
,
), тогда имеет место отношение
. С другой стороны, в
, следовательно
.