Лаб.раб. 2.
1. Написать блок-схему для задачи. Заданы два вектора с различным количеством элементов и натуральное число k. Объединить их в матрицу, включив второй вектор между k-м и (k+1)-м элементами первого, при этом, не используя дополнительную матрицу.
2.Написать блок-схему для задачи. Дан массив n действительных чисел. Требуется упорядочить его по возрастанию. Делается это следующим образом: сравниваются два соседних элемента аi и ai+1. Если аi < ai+1, то продвигаются на один элемент вперед. Если аi > ai+1 то производится перестановка и сдвигаются на один элемент назад. Составить алгоритм этой сортировки.
3. Даны дроби p1/q1, p2/q2,..., pn/qn (рi, qi — натуральные). Составить блок-схему, которая приводит эти дроби к общему знаменателю и упорядочивает их в порядке возрастания.
Лаб.раб. 3.
1. а) В первой урне 2 белых и 4 черных шара, а во второй – 3 белых и 3 черных. Из каждой урны вынимают по два шара. Исход какого из этих двух опытов более непредсказуем?
б) Назовите правило сложения энтропии. При каких условиях оно выполняется?
2. а)В одной подгруппе 3 из 10 студентов получили неудовлетворительную оценку по немецкому языку, а в другой – 4 из 12 по английскому. В каком случае сложнее предсказать успеваемость по иностранному языку двух случайно выбранных студентов одной подгруппы?
б) Найдите энтропию для распределения Пуассона.
3. Из колоды в 36 карт наугад вытаскивают 5 карт. Найти энтропию события того, что три из вытащенных карт будут пиковой масти, а две бубновой.
б) Как изменяется правило сложения энтропии, если изменить его условия?
4. В одном ряду в кинозале 20 мест. Десять человек произвольным образом занимают места в этом ряду. Найти степень неопределенности того, что все они сядут на места с номерами от 1 до 10.
б) Как определяется энтропия дискретных случайных величин?
5. Три различных шара раскладывают случайным образом по трем ящикам. Какова энтропия события того, что ровно один ящик останется пустым?
б) Найти энтропию для биномиального распределения.
6. В коробке 4 различных пары ботинок. Наугад вытащены два ботинка. Какова степень неопределенности того, что вытащенные ботинки парные?
б) Найти дифференциальную энтропию для показательного распределения.
7. а) Найдите дифференциальную энтропию для распределения Коши.
б) Для каких случайных величин задается дифференциальная энтропия?
Лаб.раб. 4.
1. Значения д. с. в. X1 и X2 определяются подбрасыванием двух идеальных монет, а д.с.в. Y равна сумме количества “гербов”, выпавших при подбрасывании этих монет. Сколько информации об X1 содержится в Y?
2. Сколько информации об X1 содержится в д.с.в. Z = (X1+1)2−X2, где независимые д. с. в. X1 и X2 могут с равной вероятностью принимать значение либо 0, либо 1? Найти HX1 и HZ. Каков характер зависимости между X1 и Z?
3. Д. с. в. X1, X2 — зависимы и могут с равной вероятностью принимать значение либо 0, либо 1. Найти I(X1,X2), если совместное распределение вероятностей X1 и X2 описывается законом
 |
4. Д. с. в. X1 и X2 определяются подбрасыванием двух идеальных тетраэдров, грани которых помечены числами от 1 до 4. Д. с. в. Y равна сумме чисел, выпавших при подбрасывании этих тетраэдров, т. е. Y = X1 + X2. Вычислить I(X1, Y), HX1 и HY.
5. Подсчитать сколько информации об X1 содержится в д.с.в. Z = X1*X2, а также HZ. Д. с. в. X1 и X2 определяются подбрасыванием двух идеальных тетраэдров, грани которых помечены числами от 1 до 4.
6. Д.с.в. X1 может принимать три значения −1, 0 и 1 с равными вероятностями. Д.с.в. X2 с равными вероятностями может принимать значения 0, 1 и 2. X1 и X2 — независимы. Y = X12 +X2. Найти I(X1, Y), I(X2, Y), HX1, HX2, HY.
7. Найти энтропии д. с. в. X, Y, Z и количество информации, содержащейся в Z = X + Y относительно Y. X и Y — независимы и задаются распределениями
 |
8. 50 студентов-математиков III курса загадали одного из студентов Сколько вопросов надо задать курсу, чтобы отгадать выбранного студента, если курс на все вопросы отвечает лишь "да" или "нет"?
9. Вы хотите узнать номер телефона жителя N, задавая вопросы, на которые он отвечает либо "да", либо "нет" За какое возможно меньшее количество вопросов вам это удастся?
10. Имеется 9 монет одного достоинства, одна из которых фальшивая и легче других Как на чашечных весах без гирь обнаружить фальшивую монету?
11. Имеется 12 монет одного достоинства, одна из которых фальшивая и тяжелее других. Сколькими взвешиваниями на чашечных весах без гирь можно обнаружить эту фальшивую монету?
Лаб.раб. 5.
1. Библиотечная книга на конец года находится в одном из четырех следующих состояний: 
- на полке; 
- выдана читателю; 
- в переплетной мастерской; 
- в ветхом состоянии (списана). Процесс перехода состояний книги на следующий год описан как цепь Маркова и представлен матрицей:
.
Требуется:
a) Определить в среднем количество лет жизни книги, если в начальный момент описания цепи книга находилась на полке;
b) Определить вероятность того, что три года подряд читатель будет держать у себя книгу.
2. 
В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в друга и через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль 
поражает корабль 
с вероятностью, корабль поражает корабль с вероятностью равной. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Рассматриваются результаты серии выстрелов.
Требуется:
a) Построить матрицу вероятностей перехода, вычислив переходные вероятности 
, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в строю: - оба корабля в строю; - в строю корабль ; - в строю корабль ; 
- оба корабля поражены.
b) Построить граф этой системы.
c) Определить среднее время ведения боя, если первоначально система находилась в состоянии .
3. 
Человек, пришедший играть в рулетку с суммой денег 
, покидает казино, если в результате игры ему удается увеличить исходную сумму в два или более раз 
, или он проигрывает все деньги 
. Имеется возможность делать ставки, равные исходной сумме 
или ее половине 
. Описывая данную игру как Марковскую цепь, имеем следующие состояния системы: 
исходное состояние системы (у клиента имеется сумма денег ); 
проигрыш всей имеющейся суммы ; 
проигрыш половины исходной суммы; 
увеличение исходной суммы в полтора раза; 
увеличение исходной суммы в два или более раз .
Требуется:
a) Построить переходную матрицу;
b) Определить стационарный вектор системы.
4. Чтобы получить 1 балл за участие в конкурсе нужно выполнить определенное задание. Вероятность успешного выполнения задания при любом испытании составляет 
. Предположим, что мы участвуем в конкурсе до тех пор, пока не получим всего 4 балла. Описать этот процесс как поглощающую Марковскую цепь с пятью состояниями и определить:
a) Какова ее переходная матрица;
b) Ожидаемое число повторений задания, прежде чем оно будет успешно выполнено четыре раза, т.е. получено четыре балла.
5. 
Два игрока и играют в некоторую игру (например, в городки). Вероятность того, что выигрывает игрок , на каждом ходе равна. Каждый ход игры состоит в том, что игроки держат пари на 1 балл, и игра продолжается до тех пор, пока один из них не проиграет все баллы.
Требуется:
a) Описать эту игру как поглощающую Марковскую цепь с девятью состояниями;
b) Каковы распределения вероятностей состояний после одного и после двух ходов игры;
c) Дать комментарий к игре, если игрок начинал ее с 7 баллами, а игрок с 1 баллом;
d) Дать еще какую-либо интерпретацию функционирования этой системы-игры.
6. За определенное количество дней можно выполнить строительство объекта (состояние ), если имеются на площадке запасы стройматериалов (состояние ), или их можно приобрести на оптовой базе (состояние ), или непосредственно на заводе-изготовителе (состояние ). Ежедневный процесс движения стройматериалов до потребителя описан цепью Маркова с поглощением в :
.
Требуется:
a) Определить среднее число дней до доставки стройматериалов на объект, если исходным пунктом считать состояние ;
b) Найти вероятность того, что невостребованные потребителем стройматериалы будут оставаться на оптовой базе спустя три дня после начала строительства, если в начале стройки они достоверно там были;
c) В каких отношениях будут находиться сроки строительства объекта, если материалы находились в начальный период строительства соответственно в , и .
7. Группа из четырех кораблей подвергается последовательным ударам противника. Возможные состояния группы кораблей (системы): все корабли целы; потоплен один корабль; потоплено два корабля; потоплено три корабля; 
потоплены все корабли.
Требуется:
a) Определить разметку петель графа;
b) Построить переходную матрицу;
c) Найти вероятность состояний полной группы кораблей после двух и трех последовательных ударов;
d) Найти вероятность того, что после третьего удара будет потоплено не менее двух кораблей;
e) Найти вероятность того, что после второго удара будет потоплено не менее трех кораблей.
8. Рассмотрим игру, в которой играют команды и с общим числом 
игроков в обеих командах. В каждом туре игры какая-либо из команд получает одного игрока из другой команды и игра продолжается до тех пор, пока в одной из команд не останется ни одного игрока. Если в команде имеется 
игроков, а в команде имеется 
игроков, то вероятность того, что в следующем туре игрока выигрывает команда , есть 
. Описать эту игру как поглощающую марковскую цепь и определить:
a) Являются ли правила игры «безобидными» (то есть не дают ли преимущества какой-либо из команд?
b) Каково распределение вероятностей для числа игроков после одного тура и после двух туров игры, если 
?
9. Посетитель банка с намерением получить кредит проходит ряд проверок (состояний): оформление документов; кредитная история; возвратность; платежеспособность. По результатам проверки возможны два исхода: отказ в выдаче кредита 
и получение кредита 
. Граф этой системы изображен на рис. 1.
 |
Рис. 1. Размеченный граф системы
Требуется:
a) Описать данный процесс как Марковскую цепь и построить переходную матрицу;
b) Найти среднее время получения положительного и отрицательного результата.
10. Предприятие имеет автопарк устаревших машин, которые продолжают эксплуатироваться. Целью является получение наибольшей прибыли до полного износа оборудования. При этом, если одна из машин выходит из строя, то общая нагрузка распределяется между оставшимися машинами, что ускоряет их износ. Граф данной системы изображен на рис. 2.
Требуется:
a) Построить матрицу переходных состояний системы;
b) Определить среднее время жизни системы, если она в начальный момент времени находилась в состоянии и в состоянии ;
c) Найти вектор состояния системы спустя половину времени жизни системы.
 |
Рис. 2. Размеченный граф системы
11. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид:
 |
Распределение по состояниям в момент времени t= 0 определяется вектором Найти распределения по состояниям в момент t= 2
12. В близко родственном скрещивании две особи, и среди их прямых потомков случайным образом выбираются две особи разного пола Они вновь скрещиваются, и процесс этот продолжается бесконечно Каждый родительский ген может передаваться с вероятностью1/2, и последовательные испытания независимые Имея три генотипа AA, Aа, аа для каждого родителя, мы можем различать шесть комбинаций родителей, которые пометим следующим образом:
E1 =AA × AA, E2 = AA × Aа, E3 = AA × аа, E4 = Aа × Aа, E5 = Aа × аа, E6 = аа × аа Найдите граф и матрицу перехода
13. Вероятности перехода за один шаг в цепях Маркова задаются матрицей:
 |
Требуется:
а) найти число состояний;
б) установить, сколько среди них существенных и несущественных;
в) построить граф, соответствующий матрице P
14. Доказать, что P n = P n для двух состояний цепи Маркова.
Лаб.раб. 6.
1. 
2. 
3. 
4.
5. 
Лаб.раб. 7.
1. Три арбитра оценили мастерство 10 спортсменов, в итоге были получены три последовательности рангов (в первой строке приведены ранги арбитра А, во второй – ранги арбитра В, в третьей—ранги арбитра С):
хi 123456789 10
уi 310 7285691 4
zi 6 213945710 8
Определить пару арбитров, оценки которых наиболее согласуются.
2. Специалисты двух заводов проранжировали 11 факторов, влияющих на ход технологического процесса. В итоге были получены две последовательности рангов:
хi 1234567891011
yi 123549811 6710
Определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов
3. Тринадцать цветных полос расположены в по рядке убывания окраски от темной к светлой и каждой полосе присвоен ранг – порядковый номер. В итоге получена последовательность рангов
Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
При проверке способности различать оттенки цветов, испытуемый расположил полосы в следующем порядке:
Yi 6 3 4 2 1 10 7 8 9 5 11 13 12
Найти коэффициент ранговой корреляции между «правильными» рангами хi и рангами yi, которые присвоены полосам испытуемым.
4. Два контролера А и В расположили образцы изделий, изготовленных девятью мастерами, в порядке ухудшения качества (в скобках помещены порядковые номера изделий одинакового качества):
(A) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(B) 2 1 4 3 5 6 7 8 9
Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции между рангами изделий, присвоенными им двумя контролерами.