Простейшие свойства
1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент 
является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. 
для любого 
.
4. Для любого противоположный элемент 
является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. 
для любого .
6. 
для любых 
и .
7. 
для любого .
Связанные определения и свойства
Подпространство
Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat (L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
· 
;
· для всякого вектора 
, вектор 
также принадлежал K, при любом ;
· для всяких векторов 
, вектор 
также принадлежал K.
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
· для всяких векторов , вектор 
также принадлежал K для любых 
.
В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.
Свойства подпространств
· Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
· Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств 
определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki:
.
В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.
Базис. Размерность
· Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов 
с коэффициентами 
.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
· Элементы 
называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
· Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
· Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
o Любые n линейно независимых элементов n -мерного пространства образуют базис этого пространства.
o Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.
Линейная оболочка
Линейная оболочка 
подмножества X линейного пространства L — пересечение всех подпространств L, содержащих X.
Линейная оболочка является подпространством L.
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X. Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X.
Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X. В частности, если X — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов X.
Если X — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.
[править] Примеры
· Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
· Пространство всех функций 
с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X.
· поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
· Любое поле является одномерным пространством над собой.
Дополнительные структуры
· Нормированное векторное пространство
· Метрическое векторное пространство
· Топологическое векторное пространство
· Евклидово пространство
· Гильбертово пространство
·