Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
23) верхний и нижний предел в точке
Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно 
или 
.
Нижний предел последовательности — это наименьший элемент множества частичных пределов последовательности.
Верхний предел последовательности — это наибольший элемент множества частичных пределов последовательности.
Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.[1]Очевидно, что эти определения эквивалентны.
[править]Обозначения
Нижний предел последовательности 
:
§ 
(в отечественной литературе);
§ 
(в иностранной литературе).
Верхний предел последовательности :
§ 
(в отечественной литературе);
§ 
(в иностранной литературе).
[править]Примеры
§ 
§ 
§ 
§ 
(в другой терминологии оба предела равны )
[править]Свойства
§ Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
|
|
§ У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать и допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
§ Числовая последовательность 
сходится к 
тогда и только тогда, когда 
.
§ Для любого наперёд взятого положительного числа 
все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала 
.
§ Если за пределами интервала 
лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал 
содержится в интервале .
29)
| Теорема (Дарбу): |
Пусть  дифференцируема на  . Тогда 
|
| Доказательство: |
|
Для определенности считаем, что  , обратный случай доказывается аналогично.
Рассмотрим вспомогательную функцию 
 .
По определению производной, 
При 
Аналогично рассмотрим  : при 
Функция  — дифференцируема, а значит, также и непрерывна на  , поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке.
Пусть оно достигается в точке  , тогда по теореме Ферма в этой точке  . Значит,  .
|
|
| Теорема (Ферма): |
Пусть существует и дифференцируема в  , и  — точка локального экстремума. Тогда 
|
| Доказательство: |
|
|
Рассмотрим случай, когда — точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
 ; рассмотрим  .
Заметим, что, по определению локального минимума,  .
Возможны 2 случая для  :
1. 
2. 
Отсюда,  .
|
|
|
Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, 
но 
— не экстремум.
|
|
| Определение: |
Корень уравнения  называется стационарной точкой.
|