Диффузионное перераспределение тепла из слоя поглощения энергии начинает проявляться в полупроводниковых материалах при нагреве импульсами излучения длительностью более 10-6 с. В нестационарных тепловых процессах перенос тепла описывается обобщённым уравнением Фурье, которое для одномерного случая имеет вид:
(1)
где с (Т) - удельная теплоёмкость;
ρ - объёмная плотность материала;
К (Т) - коэффициент теплопроводности.
Тепловые потери учитываются в граничных условиях:
(2)
Решение данного уравнения с записанными граничными условиями возможно только численными методами, для упрощения которых обычно используют преобразование Кирхгофа. Наиболее распространенные - конечноразностные методы:
метод Кранка-Никольсона (нелинейность исходного уравнения устраняется в процессе счета итерациями);
метод численного преобразования Лапласа-Карсона;
метод интегральных преобразований.
Аналитическое решение данного уравнения возможно при незначительных упрощениях, предполагающих адиабатические граничные условия, и при пренебрежении температурными и спектральными зависимостями параметров полупроводникового материала. Одно из них для импульса длительностью tp имеет вид:
(3)
где x=K/ (ρc), ω=π/tp, 0˂ ωt˂π.
Аналитические решения, справедливые, как правило, в приповерхностной области полупроводниковой пластины для коротких длительностей воздействия (tp<10-4 с), по точности не удовлетворяют требованиям описания многих практически важных случаев, поэтому наибольшее распространение получили численные решения уравнения теплопроводности.
Результаты численных расчётов для различных источников излучения (лазер, электронный луч, некогерентный свет) показывают, что существенное влияние на тепловое поле оказывают начальная температура образца и его толщина. При этом индуцированная температура тем выше, чем выше начальная температура и меньше начальная толщина пластины.
Однако, определяющее влияние на величину температурного градиента по толщине пластины оказывают мощность энергии излучения в импульсе и его длительность.
программа физический процесс график
Рисунок 1 - Профили относительного изменения температуры по глубине пластины кремния (380 мкм), нагреваемой импульсами излучения рубинового лазера (сплошные линии), ксеноновой лампы (штриховые) различной длительности с экспозиционной энергией 5 Дж/см2
Представленные зависимости относительной температуры (T/Tпов) по толщине кремневой пластины (380 мкм) позволяют сделать вывод о наличии значительных температурных градиентов по толщине при длительностях импульса 10-5 - 10-4 с. С увеличением длительности до 10-3 - 10-2 с они быстро уменьшаются и при экспозиции более 10-2 с температурное поле становится практически равномерным по толщине полупроводниковой пластины. При длительностях лучистого нагрева 10-2 с и более в полупроводниковых пластинах устанавливается квазиравномерное распределение температуры по толщине и её тепловой режим определяется балансом проводимой мощности, в котором доминирующую роль играют потери на тепловое излучение. С учётом других потерь энергии уравнение теплового баланса имеет вид:
(4)
где
(5)
Традиционно полагали, что параметры в этом уравнении не зависят от температуры и все потери, кроме радиационных, пренебрежимо малы. С этими допущениями получено аналитическое выражение для оценки максимальной температуры и времени достижения температуры T:
(6)
Более корректное описание изменения полупроводниковой пластины (в режиме теплового потока) требует учёта температурных и спектральных зависимостей параметров полупроводникового материала. При этом аналитическое решение невозможно и проводится численное интегрирование уравнения теплового баланса.
Расчёты тепловых полей при секундной термообработке излучением индуцируют незначительные градиенты температуры по толщине пластины, оцениваемые соотношением:
∆T/d = σεeT4/K (7)
где K - значение коэффициента теплопроводности при температуре обработки.
Проведённые расчёты для кремниевых пластин толщиной 300 мкм - 500 мкм дают даже вблизи температуры плавления разницу температур облучаемой и необлучаемой поверхности в пределах 7 - 10 градусов. Это значительно меньше возникающих при такой термообработке радиальных перепадов температуры.
Радиальные градиенты могут быть рассчитаны в приближении тонкой пластины (d<<a, a - радиус пластины) с использованием стационарного уравнения теплопроводности:
(8)
где Q = 2σεeT4e - интегральная плоскость мощности, выделенная в объёме пластины; Те - установившееся значение температуры в центре пластины (r=0); r - радиальная координата.
При этом предполагается однородность поверхностного облучения пластины и наличия лишь радиационного теплоотвода с её поверхностей.
С учётом дополнительной излучающей границы, которой является боковая поверхность пластины, граничные условия представляются в виде:
(9)
Решением уравнения теплопроводности с учетом этих граничных условий является:
(10) где 
(11)
I0 и I1 - функции Бесселя нулевого и первого порядка соответственно, которые для аргумента F ˃˃1 приближенно определяются как
(12)
Член со знаком минус в правой части решения учитывает наличие дополнительной излучающей границы.
Радиальный градиент температуры достигает максимального значения на краю пластины, а область его локализации в основном определяется её диаметром и распространяется на расстояние 0,2 - 0,3А от края пластины.
Рассмотренное описание вертикальных и горизонтальных температурных градиентов в нагреваемых излучением полупроводниковых пластинах позволяет рассчитывать связанные с ними термоупругие напряжения.