Независимые события. Теорема умножения вероятностей.
При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность (вероятность события) наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события. В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события? Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события. События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" независимы. Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий
P(AB) = P(A)*P(B) вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1 = 0,7; р2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.
Решение:
как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Что произойдет с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.
Пример 2. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается. Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему "дерева вероятностей". Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности (q1, q2, q1-1, q2-1).
td 26Ud0g9y8+z3ODcS1UzD+KlYDfrfXiKR0eCI57a1mrBqtd8phaF/Xwpo96bRVrFGpCv9j0V+BYKV AuQE0oNBCZtSyPcYtTB0YqzeTYmkGFXPOYg+9IPATClrBN2jDhhy1zPe9RCeAVSMNUar7VCvJtu0 kWxSQiTfFoYL86QLZiVsHtGK1fp5wWCxmayHoJlcu7a9dT+qB78BAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAA IQCyWXSB3QAAAAUBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI9BS8NAEIXvQv/DMgUvYjcGkRizKaUg FhFKU+15mh2T0Oxsmt0m8d+7etHLwOM93vsmW06mFQP1rrGs4G4RgSAurW64UvC+f75NQDiPrLG1 TAq+yMEyn11lmGo78o6GwlcilLBLUUHtfZdK6cqaDLqF7YiD92l7gz7IvpK6xzGUm1bGUfQgDTYc FmrsaF1TeSouRsFYbofD/u1Fbm8OG8vnzXldfLwqdT2fVk8gPE3+Lww/+AEd8sB0tBfWTrQKwiP+ 9wbvPoljEEcF8WMSgcwz+Z8+/wYAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAA AJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQB1z7Ly8gIA APIFAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQCyWXSB 3QAAAAUBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAEwFAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA VgYAAAAA " filled="f" stroked="f">
Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий. Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.
Пример 3. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему "дерева вероятностей". При этом значение вероятности на каждой "ветке" нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:
1) из всех жителей города женщин 50%,
2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,
3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,
4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,
5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.
Решение:
По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А ={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0,00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля. И все-таки польза от наших оценок есть. Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные "развилки", и, конечно, значения вероятности тоже будут разные. Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех "развилках", где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять. Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.
Пример 3. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?
Обсуждение.
Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.
S Hul7uXn2eZgbiSumYfKUrEpwf+dEYqPBMc9sazVh5Xq9VwpD/64U0O5to61ijUjX+p+K7AoEKwXI CaQHMxIWhZDvMGpg3iRYvZ0TSTEqn3EQfeSHoRlQdhN2egFs5P7JdP+E8BSgEqwxWi+Hej3U5rVk swIi+bYwXJjbnDMrYXOJ1qw21wtmis1kM//M0NrfW6+7KT34DQAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA pXV4Od4AAAAFAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQUvDQBCF70L/wzIFL2I3LdaWNJsiBbGI UExtz9vsNAlmZ9PsNon/3tGLXh4M7/HeN8l6sLXosPWVIwXTSQQCKXemokLBx/75fgnCB01G145Q wRd6WKejm0THxvX0jl0WCsEl5GOtoAyhiaX0eYlW+4lrkNg7u9bqwGdbSNPqnsttLWdR9CitrogX St3gpsT8M7taBX2+6477txe5uztuHV22l012eFXqdjw8rUAEHMJfGH7wGR1SZjq5KxkvagX8SPhV 9ubTxQOIE4cWsznINJH/6dNvAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAA lAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAH31MF/wAgAA 7QUAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAKV1eDne AAAABQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAASgUAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABV BgAAAAA= " filled="f" stroked="f">
Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных "ветвлений" должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с "конкретной" ситуацией, а не с вероятностями.