301. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: а) число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (как, например, 24542), б) число кратно пяти, в) число состоит из нечетных цифр.
302. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу четыре карты. Найти вероятности следующих событий: а) в полученной выборке все карты одной масти, б) окажется хотя бы один туз, в) будет получен следующий состав: валет, дама и два короля.
303. Числа 1, 2, …, 9 записываются в случайном порядке, Найти вероятности следующих событий: а) числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания, б) числа 3, 6 и 9 будут следовать друг за другом в произвольном порядке, в) на четных местах будут стоять четные числа.
304. Бросается 10 одинаковых игральных костей. Найти вероятности следующих событий: а) ни на одной кости не выпадет 6 очков, б) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков, в) ровно на трех костях выпадет 6 очков.
305. Бросается шесть игральных костей. Найти вероятности следующих событий: а) выпадут три единицы, две тройки и одна шестерка, б) выпадут различные цифры, в) выпадут три одинаковые цифры.
306. Из множества чисел E = {1, 2, …, n} выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число заключено между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?
307. Семь яблок, три апельсина и пять лимонов раскладываются случайным образом в три пакета, но так, чтобы в каждом было одинаковое количество фруктов. Найти вероятности следующих событий: а) в каждом из пакетов будет по одному апельсину, б) случайно выбранный пакет не содержит апельсинов.
308. Из разрезной азбуки выкладывается слово «математика». Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке, Какова вероятность того, что снова получится слово «математика»?
309. 52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт). Найти вероятности следующих событий: один из игроков получит все 13 карт одной масти, б) все тузы попадут к одному из игроков, в) каждый игрок получит туза.
310. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Случайно выбираются три карточки и раскладываются в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий: а) появится число, состоящее из последовательных цифр, б) появится число, не содержащее цифры 3, в) появится число, содержащее хотя бы одну из цифр 2 или 3.
311. Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна р = 1/4. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Найти вероятности событий: А = {хотя бы одно попадание}, В = {ровно одно попадание}, С = {ровно два попадания}, D = {не менее трех попаданий}.
312. Пара одинаковых игральных костей бросается семь раз. Какова вероятность следующих событий: А = {сумма очков, равная 7, выпадет дважды}, В = {сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере один раз}, С = {каждый раз выпадет сумма очков, большая семи}, D = {ни разу не выпадет сумма очков, равная 12}.
313. Вероятность того, что расход воды в течение дня окажется не превышающим норму, равна 3/4. Найти вероятность того, что расход воды будет нормальным в течение четырех из ближайших пяти дней.
314. Известно, что в данном населенном пункте 75% семей имеют телевизоры. Для некоторых исследований случайным образом отбирается 6 семей. Определить вероятность того, что в выборке окажется: а) ровно четыре семьи с телевизорами; 2) не менее пяти семей с телевизорами.
315. Два равносильных шахматиста договорились сыграть матч из 2n результативных партий. Ничьи не учитываются и считается, что каждый из участников может выиграть очередную партию с вероятностью 0,5. Выигравшим матч считается тот, кто победит в большем числе партий. В каком матче больше шансов выиграть любому из участников: в матче из 8 результативных партий или из 12?
316. Десять осветительных лампочек для елки включены в цепь последовательно. Вероятность для любой лампочки перегореть при повышении напряжения в сети равна 0,1. Определить вероятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети.
317. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны р = 0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из восьми.
318. Среднее число заявок, поступающих на склад в течение месяца, равно 2. Найти вероятность того, что в течение 0,5 месяца поступит не более одной заявки.
319. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить: а) хотя бы одну нестандартную деталь; б) не менее трех нестандартных деталей?
320. Опыт состоит в том, что из колоды в 32 карты (начиная с семерок и выше) наудачу и с возвращением извлекается 10 карт, причем каждый раз записывается результат извлечения. Опыт повторили 4 раза. Найти вероятности следующих событий: А = {по крайней мере, один раз получено не менее семи карт одной масти}, В = {ровно два раза получены наборы, не содержащие одной какой-либо масти}, С = {ровно один раз получен набор, не содержащий дам, тузов и королей}.
321—330. Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы; в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины, во второй — соответствующие вероятности.
Найти: а) функцию распределения, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) среднее квадратичное отклонение, д) коэффициент асимметрии. Начертить график закона распределения и показать на нем вычисленные математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение
321.
| -4 | ||||
| 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,1 |
323.
|
| |||||
|
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
322.
|
| -6 | -1 | |||
|
| 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
324.
|
| |||||
|
| 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
325.
|
| |||||
|
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
327.
|
| |||||
|
| 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
329.
|
| |||||
|
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
326.
|
| |||||
|
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
328.
|
| |||||
|
| 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,1 |
330.
|
| |||||
|
| 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
331—340. Случайная величина 
задана функцией распределения 
. Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины
341—350. Известны математическое ожидание 
и среднее квадратичное отклонение 
нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал 
351—360. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 
. Случайные величины: — число выстрелов до первого попадания (включительно), 
— число промахов.
а) Описать закон распределения случайного вектора 
и законы распределения каждой компоненты;
б) Вычислить вероятность 
;
в) Вычислить коэффициент корреляции 
;
г) Определить, зависимы или независимы компоненты и ;
д) Найти условное математическое ожидание случайной величины при условии, что приняло значение 2
361—370. Для приведенных в табл. 1 выборочных данных:
а) построить вариационный и статистический ряды;
б) построить полигоны частот и накопленных частот;
в) вычислить оценки среднего, моды, медианы, дисперсии, с. к. о., коэффициентов асимметрии и эксцесса.
371—380. Исходные данные – результаты выборочного обследования совокупности, где наблюдался непрерывный статистический показатель. Провести группировку выборки, разбив диапазон значений статистического показателя на 5 интервалов. Для группированной выборки:
а) построить полигон частот и гистограмму относительных частот;
б) вычислить оценки среднего значения показателя, моды, медианы, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса.
Данные взять из табл. 2.
381—390. Вычислить средние, дисперсии и коэффициент корреляции для выборки двух статистических показателей X и У. Построить диаграмму рассеивания. Данные взять из табл. 3.
391—400. Найти прямые регрессии Y на X и X на Y по данным выборки, приведенным в табл. 3. Нанести эти прямые на диаграмму рассеивания.
401—410. Вычислить коэффициент ранговой корреляции для выборки, приведенной в табл. 3. Проверить значимость ранговой корреляции при уровне значимости 0,10.
Таблица 1
| Номер наблюдения | Данные для задач | |||||||||
Таблица 2
| Номер наблюдения | Данные для задач | |||||||||
| 3,2 2,7 1,9 4,2 2,8 3,0 3,4 1,7 2,5 0,1 2,9 1,4 2,8 3,6 4,3 3,2 0,7 2,1 1,5 3,9 | 5,9 8,7 2,2 3,5 5,2 2,1 7,0 1,4 4,9 6,8 3,1 8,8 4,4 5,3 6,2 3,1 4,9 7,6 4,7 9,1 | 1,9 1,6 2,5 3,2 3,1 6,3 3,8 5,0 1,2 8,1 2,4 5,3 5,8 2,1 2,3 8,2 3,9 1,0 1,8 1,5 | 2,6 6,1 3,7 3,9 5,4 4,2 2,9 2,0 4,1 1,2 3,7 3,4 2,2 5,1 7,8 4,3 3,2 2,7 4,5 3,1 | 4,0 5,8 2,5 3,2 5,1 4,6 5,3 3,9 6,3 5,9 4,2 5,2 2,1 4,9 4,0 5,1 6,7 4,3 3,4 4,2 | 44,1 22,6 24,8 29,4 40,8 21,1 26,6 32,4 33,1 25,7 37,1 31,4 32,4 38,2 44,5 42,8 39,3 28,8 20,5 30,3 | 11,9 9,5 16,6 14,8 9,5 10,8 11,7 10,4 11,5 12,2 10,5 8,4 10,1 15,2 17,3 11,1 13,4 11,0 10,4 14,2 | 7,0 3,7 1,2 1,0 7,1 1,0 2,7 0,4 9,8 8,0 4,3 4,5 5,8 7,1 1,6 6,3 2,6 3,4 0,7 9,4 | 0,8 4,8 2,0 1,8 2,2 3,3 3,2 2,7 1,9 2,9 3,1 3,7 2,8 2,4 2,2 4,6 3,1 0,3 1,7 2,6 | 16,6 13,9 11,8 13,1 14,5 7,7 10,1 6,6 14,3 14,5 10,2 11,7 11,4 10,5 11,0 12,4 13,7 11,6 10,2 9,7 |
Таблица 3
| Номер наблюдения | Данные для задач | |||||||||
| 410 | ||||||||||
| x y | x y | x y | x y | x y | x y | x y | x y | x y | x y | |
| 41; 47 40; 48 39; 44 38; 45 36; 42 37; 45 39; 50 36; 47 36; 46 38; 46 | 25; 36 30; 38 25; 24 30; 36 35; 24 35; 28 40; 24 40; 20 45; 22 45; 20 | 11; 9 10; 8 8; 6 4; 3 10; 9 11; 7 7; 6 8; 5 6; 4 5; 3 | 8; 10 3; 5 4; 6 5; 8 6; 7 7; 11 9; 10 3; 4 9; 11 6; 8 | 20; 18 20; 19 35; 25 20; 20 30; 25 25; 21 25; 23 25; 22 30; 23 30; 24 | 56; 56 58; 56 61; 57 60; 58 59; 54 58; 55 56; 52 57; 56 59; 60 56; 56 | 7; 30 4; 45 8; 30 5; 40 6; 40 6; 35 7; 35 9; 25 3; 50 5; 40 | 56; 58 56; 56 58; 60 57; 61 57; 56 54; 59 55; 58 52; 56 52; 57 60; 59 | 7; 26 8; 26 11; 36 15; 46 19; 50 23; 60 27; 66 31; 70 35; 75 34; 65 | 20; 20 19; 20 18; 20 21; 25 23; 25 22; 25 23; 30 24; 39 25; 30 25; 35 |
411—420. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания 
нормально распределенной генеральной совокупности с надежностью 0,95, зная выборочное среднее 
, объем выборки 
и среднее квадратичное отклонение 
411 = 75,17 = 36 = 6.
412. = 75,16 = 49 = 7.
413. = 75,15 = 64 = 8.
414. = 75,14 = 81 = 9.
415. = 75,13 = 100 = 10.
416. = 75,12 = 121 = 11.
417. = 75,11 = 144 = 12.
418. = 75,10 = 169 = 13.
419. = 75,09 = 196 = 14.
420. = 75,08 = 225 = 15.