Средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая

Вариант 9

Содержание

Теоретическая часть. 3

1. Абсолютные статистические величины. Единицы измерения абсолютных величин 3

2. Средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая 5

Практическая часть. 8

Библиографический список. 12

Теоретическая часть

 

Абсолютные статистические величины. Единицы измерения абсолютных величин

Статистика измеряет и выражает явления общественной жизни с помощью количественных категорий — статистических величин. Результаты статистического наблюдения получают прежде всего в форме абсолютных величин, которые служат основой для расчета и анализа статистических показателей на следующих этапах статистического исследования.

Абсолютная величина — объем или размер изучаемого события или явления, процесса, выраженного в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.

Виды абсолютных величин:

· Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности

· Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность

Результатом статистического наблюдения являются показатели, которые характеризуют абсолютные размеры или свойства изучаемого явления у каждой единицы наблюдения. Они называются индивидуальными абсолютными показателями. Если показатели характеризуют всю совокупность в целом, они называются обобщающими абсолютными показателями. Статистические показатели в форме абсолютных величин всегда имеют единицы измерения: натуральные или стоимостные.

Формы учета абсолютных величин:

· Натуральный — физические единицы (штук, человек)

· Условно-натуральный — применяется при подсчете итогов по продукции одинакового потребительского качества но широкого ассортимента. Перевод в условное измерение осуществляется с помощью коэффициента пересчета:

Кпересчета=фактическое потребительское качество / эталон (заранее заданное качество)

Стоимостной учет — денежные единицы

Натуральные единицы измерения бывают простыми, составными и условными.

· Простые натуральные единицы измерения — это тонны, километры, штуки, литры, мили, дюймы и т. д. В простых натуральных единицах также измеряется объем статистической совокупности, т. е. число составляющих ее единиц, или объем отдельной ее части.

· Составные натуральные единицы измерения имеют расчетные показатели, получаемые как произведение двух или нескольких показателей, имеющих простые единицы измерения. Например, учет затрат труда на предприятиях выражается в отработанных человеко-днях (число работников предприятия умножается на количество отработанных за период дней) или человеко-часах (число работников предприятия умножается на среднюю продолжительность одного рабочего дня и на количество рабочих дней в периоде); грузооборот транспорта выражается в тонно-километрах (масса перевезенного груза умножается на расстояние перевозки) и т. д.

· Условно-натуральные единицы измерения широко используют в анализе производственной деятельности, когда требуется найти итоговое значение однотипных показателей, которые напрямую несопоставимы, но характеризуют одни и те же свойства объекта.

Натуральные единицы пересчитываются в условно-натуральные путем выражения разновидностей явления в единицах какого-либо эталона.

В условиях рыночной экономики наибольшее значение и применение имеют стоимостные единицы измерения: рубли, доллары, евро, условные денежные единицы и др. Для оценки социально-экономических явлений и процессов используются показатели в текущих или фактически действующих ценах или в сопоставимых ценах.Сама по себе абсолютная величина не дает полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени. В ней не выявлены соотношения с другими абсолютными величинами. Поэтому статистика, не ограничиваясь абсолютными величинами, широко использует общенаучные методы сравнения, обобщения. Абсолютные величины имеют большое научное и практическое значение. Они характеризуют наличие тех или иных ресурсов и являются основой разнообразных относительных показателей.

Средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая

 

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной основой расчета и критерием правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Введем следующие условные обозначения:

- величины, для которых исчисляется средняя;

- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

- частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

(1)

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая [3, С.44].

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

(2)

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

(3)

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Средняя геометрическая чаще всего находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.

Для простой средней геометрической

(4)

Для взвешенной средней геометрической

(5)

Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула простой средней квадратической

(6)

Формула взвешенной средней квадратической

(7)

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.

 

 

Практическая часть

 

1. Решить задачу:

По приведенным в таблице данным рассчитайте относительные величины интенсивности и сравнения.

Показатели	Район 1	Район 2
Численность населения, тыс. чел.	150,0	200,0
Производство обуви, тыс. пар	420,0	450,0

Решение.

Относительная величина интенсивности (показатель интенсивности, эффективности) — характеризует степень распространения одного явления в среде другого явления.

Рассчитаем относительную величину интенсивности – производство обуви на 1 человека.

По району 1: пар на 1 чел.

По району 2: пар на 1 чел.

Относительная величина сравнения (показатель сравнения) — характеризует соотношение между разными совокупностями по одноименным показателям.

Рассчитаем относительные величины сравнения численности населения и производства обуви во втором районе по сравнению с первым.

По численности населения: , т.е. численность населения второго района в 1,33 раза больше численности населения второго района.

По производству обуви: , т.е. производство обуви второго района в 1,07 раза больше производства обуви второго района.

 

 

2. Решить задачу:

Найти условно-натуральную величину, если предприятие производит тетради:

§ по 12 листов — 1500 шт.;

§ по 24 листа — 1200 шт.;

§ по 48 листов — 2050 шт.;

§ по 96 листов — 1000 шт.

Решение.

Примем в качестве эталона тетради по 12 листов.

Тогда количество тетрадей в условно-натуральных величинах составило усл.ед.

 

3. Решить задачу:

Рассчитать индекс сезонности по данным в таблице:

Таблица. Сезонные колебания производства продукции на предприятии за 3 года

Месяцы	Производство, тонн
1 год	2 год	3 год
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Итого

Построить график. Сформулировать выводы.

Решение.

Вычислим индексы сезонности методом простой средней.

Проведём расчёт индексов сезонности в таблице.

№ п/п	Месяц	Год	Расчётные графы
1 год	2 год	3 год
А	Б				4=гр.1+гр.2+гр.3
	Январь					2202,3	67,1
	Февраль					2156,7	65,8
	Март					2464,0	75,1
	Апрель					3256,0	99,3
	Май					3429,7	104,6
	Июнь					4154,7	126,7
	Июль					4253,3	129,7
	Август					4051,3	123,5
	Сентябрь					3619,0	110,3
	Октябрь					3679,0	112,2
	Ноябрь					3224,7	98,3
	Декабрь					2870,0	87,5
	Итого					3280,1	-

Для каждого месяца средние значения определены в гр. 5 таблицы. В итоговой строке гр.5 определён знаменатель для расчёта индекса сезонности: в виде общего для всего ряда динамики среднего уровня: . Этот общий средний уровень и используется в качестве постоянной базы сравнения при определении средних индексов сезонности, которые помещены в гр. 6 таблицы.

Изобразим сезонную волну на графике.

Рис.1. График сезонной волны