Нахождение математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.
Находить моду, медиану, среднее арифметическое выборки, размах выборки.
Цель работы: овладеть навыком вычисления математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины.
Умение и навыки, которые должны приобрести студенты: самостоятельно вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, находить моду, среднее арифметическое выборки, размах выборки, осуществлять поиск информации с использованием компьютерной техники и Интернета.
Рекомендации по выполнению.
- Прочитать справочный материал.
- Разобрать решение примера.
- Выполнить задания самостоятельно.
- Оформить решение задач в тетради.
1. Прочитать справочный материал.
К числу важных числовых характеристик дискретной случайной величины относится математическое ожидание и дисперсия.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
М(Х) = ∑ xiрi=x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С•Х)=С•М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X)=M(X-M(X))2.
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х- случайная величина;
3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
где М(Х)=∑ xi2рi=x12р1 + x22р2+…+ xn2рn, i=1
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратичным отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии: 
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Найдем среднее арифметическое для чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23.
a=5,24+6,97+8,56+7,32+6,235=6.864a¯=5,24+6,97+8,56+7,32+6,235=6.864
Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Размах ряда 5,24, 6,97, 8,56, 7,32, 6,23 равен 8,56-5,24= 3.32
Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.
Модой ряда 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26 является число 26, встречается 3 раза.
В ряду чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23 моды нет.
Ряд 1, 1, 2, 2, 3 содержит 2 моды: 1 и 2.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Разберите решение примеров.
Пример 1.
Случайная величина Х задана рядом распределения:
| xi | |||||
| pi | 0.5 | 0.3 | 0.15 | 0.03 | 0.02 |
Вычислить математическое ожидание случайной величины
Решение
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M(Х);
M(Х) = 0*0.5 + 1*0.3 + 2*0.15 + 3*0.03 + 4*0.02 = 0.77
Ответ: 0,77
Пример 2.
Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:
| |||
| 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Решение. Найдем математическое ожидание М(Х):
М(Х) = 2*0,1 + 3*0,6+5*0,3= 3,5
Напишем закон распределения случайной величины Х2:
| |||
|
| 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Найдем математические ожидания М(Х2):
М(Х2) =4*0,1 + 9 *0,6 + 25*0,3 = 13,3
Искомая дисперсия
D(X) = М(Х2)-(М(Х))2 = 13,3 – (3,5)2 = 1,05
Выполнить задания самостоятельно.
ЗАДАНИЯ:
Пример1. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения
| Хi | |||||
| Рi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.4 |
Найти математическое ожидание и дисперсию.
Пример2. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения.
| х | |||||
| р | 0,124 | 0,243 | 0,283 | 0,198 | 0,467 |
Найти математическое ожидание и дисперсию.
Пример3.
Задан закон распределения дискретной случайной величины X.
| х | 0,3 | 0,4 | 0,7 | 0,9 | 0,2 |
| р | 0,1 | 0,3 | р | 0,4 | 0,1 |
Найти неизвестную вероятность p, математическое ожидание M и дисперсию, построить многоугольник распределения.
*Пример4.
Найти р2 и р4, если р4 в 6 раз больше р2, если задана дискретная случайная величина Х и имеется закон распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.
| х | |||||
| р | 0,12 | Р2 | 0,25 | Р4 | 0,41 |
*Пример5.
Выигрыши, которые приходятся на один билет в каждой из двух лотерей, имеют следующие законы распределения:
| х | ||||
| р | 0,9 | 0,06 | 0,03 | 0,01 |
| у | ||||
| р | 0,85 | 0,12 | 0,02 | 0,01 |
Пример6. Находить моду, медиану, среднее арифметическое выборки, размах выборки.*
1. Найти моду: 1,3,5,1,4,3,2
2. Найти медиану выборки 4,1,8,9,13,10
3. Найти среднее арифметическое значение выборки и размах выборки 24, -5, 13, -8
4. Какой из лотерей вы отдадите предпочтение? Найти математическое ожидание и дисперсию.
Оформить отчет.
По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме зачета.
Шкала оценки образовательных достижений
| Процент результативности (правильных ответов) | Оценка уровня подготовки | |
| Балл (оценка) | Вербальный аналог | |
| 90-100 | отлично | |
| 80-89 | хорошо | |
| 70-79 | удовлетворительно | |
| менее 70 | неудовлетворительно |