Кое-что из прошлого теории вероятности.

Задание на 20-21 апреля 2020 г.

т\о «Избранные страницы математики»

Педагог Мелько С.И.

Выполненные задания отправлять на WhatsApp педагогу

Тема «Вероятность равновозможных событий»

Кое-что из прошлого теории вероятности.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились только коллективно.

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт – подбрасывают монету. Выпадение орла или решки, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление решки происходит примерно в половине случаев.

Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л.Бюффон (1707 – 1788) в 18 столетии 4040 раз подбрасывал монету – решка выпала 2048 раз. Математик К.Пирсон в начале двадцатого столетия подбрасывал ее 24 000 раз – решка выпала 12 012 раз. Лет 40 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний решка выпала 4 979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Наиболее интересные задачи теории вероятности возникли в области азартных игр. Этому, по-видимому, способствовало наличие таких “наглядных пособий”, как монета или игральная кость.

К азартным играм относили бросание шестигранных игральных костей. Слово “азар” по-арабски означает “трудный”. Так, арабы называли азартной игрой комбинацию очков, которая при бросании нескольких костей могла появиться лишь единственным способом. Например, при бросании двух костей трудным (“азар”) считалось появление в сумме двух или двенадцати очков.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П.Лапласом (1749-1827) в книге “Аналитическая теория вероятностей”.

В предисловии автор писал: “Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей”.

П.Лаплас не мог предусмотреть, что пройдет несколько десятилетий и интерес к теории вероятностей снизится. А так на деле и случилось. Во второй половине XIX века и в начале XX века некоторые математики перестали интересоваться теорией вероятностей как математической дисциплиной.

К счастью последние годы теория вероятностей вернулась в школьную программу, медленными, но уверенными шагами. Вот и наша задача – научиться решать такие жизненные задачи с помощью теории вероятностей.

Вернёмся к эксперименту с подбрасыванием монеты. Многие ученые проводили его и получали различные, но близкие значения.

Говоря о том, что монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, можно сделать вывод, что случаи выпадения орла или решки имеют одинаковые шансы. Такие события называют равновозможными.

Найдём вероятность события выпадения орла.

Всего при подбрасывании монеты могут быть 2 равновозможных исхода: выпадет орёл или решка. Для нас благоприятным событием является первое. Среди всех возможных оно встречается 1 раз. Тогда получаем, что относительная вероятность выпадения орла равна: .

Определение:

Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Такой способ отыскания относительной вероятности называется классическим. Но полученное значение вероятности совсем не означает, что если подбросить монету два раза, то один раз выпадет орёл.

Вывод: статистический подход предполагает проведение испытаний, а классический - нет.

Чтобы вычислить вероятность события классическим способом необходимо только правильно определить количество всех равновозможных исходов, а также число благоприятных для этого события исходов.

Пример. Студент не выучил 3 билета из тридцати. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен?

Пусть А - событие, при котором сдан экзамен. Студент может вытянуть на экзамене любой из тридцати билетов, то есть n=30.

Благоприятным исход m=27 - число билетов, которые он выучил. Получим:

Рассмотрим следующие примеры:

Пример 1. Пусть на стол бросают монету. В результате обязательно произойдет одно из двух событий (либо “выпала решка”, либо “выпал орел”)

Событие А: “Выпала решка”

Событие В: “Выпал орел”

Так как предполагается, что монета не изогнута, то события А и В в нашем примере равновозможные и одно из них обязательно произойдет. Тогда вероятность события определяется следующим образом: Р(А) = , где n – число всех равновозможных случаев, m – число случаев, благоприятствующих событию А. Тогда Р(А) = и Р(В) = .

Пример 2. Пусть на стол бросают игральный кубик.

Возможны 6 случаев: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Эти случаи равновозможные.

Событие А: “выпадение 3 очков”, тогда Р(А) = .

Пример 3. Двое играют в эту игру. Они бросают два кубика. Первый получает очко, если выпадет сумма 8. Второй получает очко, если выпадет сумма 9. Справедлива ли эта игра?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: “при бросании двух кубиков выпало 8 очков”

Событие В: “при бросании двух кубиков выпало 9 очков”

При бросании двух кубиков могут получиться следующие равновозможные результаты:

развернуть таблицу

I II	I II	I II	I II	I II	I II
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6	2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6	3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6	4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6	5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6	6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

развернуть таблицу

n = 36 – число всех равновозможных случаев;

m = 5 – число случаев благоприятствующих событию А;

к = 4 – число случаев благоприятствующих событию В.

тогда Р(А) = , Р(В) = ,

, то Р(А) > Р(В).

Так как 8 очков выпадает чаще, чем 9 очков, то данная игра не справедлива.

Задание: Выполнить самостоятельную работу (прилагается)

Самостоятельная работа " Вероятность случайного события"

Вариант 1.

1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:

а) На каждом уроке математики ученики решали математические задачи.

б) На зимней олимпиаде в Сочи все призовые места займут российские спортсмены.

в) В каждом месяце дней не меньше, чем 28.

г) В написании выбранного слова нет согласных букв.

д) Из интервала (-1;1) наугад взяли какое-то число. Оно оказалось натуральным.

2. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

3. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное 5?

4. Женя, Лена, Маша, Аня и Коля бросили жребий – кому идти в магазин. Найдите вероятность того, что в магазин надо будет идти Ане.

5. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее 4 очков.

6. В коробке лежат 10 карточек, пронумерованных числами от 1 до 10. Какова вероятность того, что на наугад вынутой карточке будет записано:

а) Чётное число б) Число, кратное 3

7. В коробке лежат 18 зелёных и 12 голубых шариков. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик окажется зелёным.

8. В лотерее разыгрывалось 5 телевизоров, 25 магнитофонов, 30 фотоаппаратов. Всего было выпущено 3000 лотерейных билетов. Какова вероятность выиграть:

а) выиграть фотоаппарат б) выиграть какой-нибудь приз

9. В чемпионате по гимнастике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

10. На та­рел­ке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с ка­пу­стой и 3 с вишней. На­та­ша на­у­гад вы­би­ра­ет один пирожок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с вишней.

11. Миша с папой ре­ши­ли по­ка­тать­ся на ко­ле­се обозрения. Всего на ко­ле­се два­дцать че­ты­ре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Ка­бин­ки по оче­ре­ди под­хо­дят к плат­фор­ме для посадки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Миша про­ка­тит­ся в крас­ной кабинке.

12. У ба­буш­ки 20 чашек: 5 с крас­ны­ми цветами, осталь­ные с синими. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цветами.

13. В сред­нем из каж­дых 80 по­сту­пив­ших в про­да­жу ак­ку­му­ля­то­ров 76 ак­ку­му­ля­то­ров заряжены. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ный ак­ку­му­ля­тор не заряжен.

14. Для эк­за­ме­на под­го­то­ви­ли би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 50. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет од­но­знач­ный номер?

15. Приведите примеры: а) достоверного, б) возможного и в) случайного события.