Задачи первого уровня
1.1. На прямой последовательно откладываются точки A, B, C и D, причем AB = BC = CD = 6. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.
1.2. На прямой последовательно откладываются точки A, B, C, D, E и F, причем AB = BC = CD = DE = EF. Найдите отношения AD: DF, AC: AF, BD: CF.
1.3. Точка M - середина отрезка AB, а точка N - середина отрезка MB. Найдите отношения AM: MN, BN: AM и MN: AB.
1.4. Точка K отрезка AB, равного 12, расположена на 5 ближе к A, чем к B. Найдите AK и BK.
1.5. Точка M расположена на отрезке AN, а точка N - на отрезке BM. Известно, что AB = 18 и AM: MN: NB = 1: 2: 3. Найдите MN.
1.6. На прямой выбраны три точки A, B и C, причем AB = 1, BC = 3. Чему может быть равно AC? Укажите все возможные варианты.
1.7. На прямой выбраны четыре точки A, B, C и D, причем AB = 1, BC = 2, CD = 4. Чему может быть равно AD? Укажите все возможные варианты.
1.8. На линейке отмечены три деления: 0, 2 и 5. Как отложить с ее помощью отрезок длиной 6?
1.9. На линейке отмечены три деления: 0, 7 и 11. Как отложить с ее помощью отрезок длиной: а) 8; б) 5?
1.10. На прямой взяты точки A, O и B. Точки A1 и B1 симметричны соответственно точкам A и B относительно точки O. Найдите A1B, если AB1 = 2.
1.11. Точка B лежит на отрезке AC длиной 5. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и BC.
1.12. Точки A, B, C последовательно расположены на одной прямой и AB: BC = 3: 4. Найдите отношения AB: AC и BC: AB.
1.130. Точки A, B, C расположены на одной прямой и AC: BC = 2: 5. Найдите отношения AC: AB и BC: AB.
1.140. Точки A, B, C расположены на одной прямой1.1. На прямой последовательно откладываются точки A, B, C и D, причем AB = BC = CD = 6. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.
1.150. Точка B делит отрезок AC в отношении AB: BC = 2: 1. Точка D делит отрезок AB в отношении AD: DB = 3: 2. В каком отношении точка D делит отрезок AC?
1.16. Даны точки A и B. Где на прямой AB расположены точки, расстояние от которых до точки A больше, чем до точки B?
1.17. Один из двух смежных углов на 30◦ больше другого. Найдите эти углы.
1.18. Один из двух смежных углов в 3 раза меньше другого. Найдите эти углы.
1.190. Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.
1.20. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.
1.21. Луч света, исходящий из точки M, зеркально отразившись от прямой AB в точке C, попал в точку N. Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна прямой AB. (Угол падения равен углу отражения.)
1.22. Точка M лежит внутри угла AOB, OC - биссектриса этого угла. Докажите, что угол MOC равен полуразности углов AOM и BOM.
1.23. Точка M лежит вне угла AOB, OC - биссектриса этого угла. Докажите, что угол MOC равен полусумме углов AOM и BOM.
1.24. Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180◦, и два других - тоже.
Задачи второго уровня
1.25. Даны точки A и B. Где на прямой AB расположены точки, расстояние от которых до точки A: а) вдвое больше, чем до точки B; б) втрое меньше, чем до точки B?
1.26. Даны точки A и B. Для каждой точки M, не совпадающей с точкой B и лежащей на прямой AB, рассмотрим отношение AM: BM. Где расположены точки, для которых это отношение: а) больше 2; б) меньше 2?
1.27. Имеется угольник с углом в 70◦. Как построить с его помощью угол в 40◦?
1.28. Имеется угольник с углом в 19◦. Как построить с его помощью угол в 1◦?
1.29. Через точку на плоскости провели 10 прямых, после чего плоскость разрезали по этим прямым на углы. Докажите, что хотя бы один из этих углов меньше 20◦.
1.30. а) На сколько градусов поворачивается за минуту минутная стрелка? Часовая стрелка?
б) Какой угол образуют минутная и часовая стрелка в 3 часа 5 минут?
в) В полдень минутная и часовая стрелка совпали. Когда они совпадут в следующий раз?
г) Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки совпадают? Образуют развернутый угол? Образуют прямой угол?
Задачи третьего уровня
1.31. В деревне у прямой дороги стоят четыре избы A, B, C и D на расстоянии 50 метров друг от друга. В какой точке дороги надо построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до всех четырех изб была бы наименьшей?
1.32. В деревне A живет 50 школьников, в деревне B живет 100 школьников. Расстояние между деревнями 3 километра. В какой точке дороги из A в B надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было как можно меньше?
Признаки равенства треугольников
Задачи первого уровня
1.33. Медиана треугольника делит его на два треугольника,
периметры которых равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.34. Докажите, что в равных треугольниках соответствующие медианы равны.
1.35. Докажите, что в равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.
1.36. На сторонах вертикальных углов отложены от его вершины равные отрезки OA, OB, OC и OD. Укажите пары равных треугольников с вершинами в точках O, A, B, C и D.
1.370. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, является также медианой и высотой.
1.380. Медиана треугольника является также его высотой. Докажите, что такой треугольник равнобедренный.
1.39. Биссектриса треугольника является его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.40. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его
биссектрисе BK. Найдите AB, если BC = 12.
1.41. Прямая, проведенная через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам. Найдите отношение сторон AB и AC.
1.42. Стороны равностороннего треугольника делятся точками K, L, M в одном и том же отношении (считая по часовой стрелке). Докажите, что треугольник KLM также равносторонний.
1.430. Постройте треугольник по трем сторонам. Всегда ли это можно сделать?
1.440. Постройте угол, равный данному.
1.450. Постройте треугольник:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
1.460. В треугольнике ABC медиана AM продолжена за точку M на расстояние, равное AM. Найдите расстояние от полученной точки до вершин B и C, если AB = С, AC = b.
1.470. Биссектриса треугольника является его медианой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.48. Равны ли треугольники:
а) по двум сторонам и углу;
б) по стороне и двум углам?
1.490. Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников:
а) по двум катетам;
б) по катету и гипотенузе;
в) по катету и прилежащему острому углу;
г) по гипотенузе и острому углу.
1.50. Постройте треугольник:
а) по двум сторонам и высоте, проведенным из одной вершины;
б) по стороне и высотам, проведенным к двум другим сторонам;
в) по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла;
г) по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.
1.510. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка.
1.52. Две различные окружности пересекаются в точках A и B. Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, делит отрезок AB пополам и перпендикулярна ему.
1.53. Разделите отрезок пополам с помощью циркуля и линейки.
Задачи второго уровня
1.54. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
1.55. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Периметр треугольника ABC равен периметру треугольника ABD, а периметр треугольника ACD - периметру треугольника BCD. Докажите, что AO = BO.
1.56. Докажите равенство треугольников:
а) по двум сторонам и медиане, выходящим из одной вершины;
б) по медиане и двум углам, на которые разбивает эта медиана угол треугольника.
1.57. Докажите, что в равных треугольниках соответствующие высоты равны между собой.
1.58. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку является его осью симметрии.
1.59. Докажите, что диагонали четырехугольника с равными сторонами взаимно перпендикулярны.
1.60. Точки M и N - середины равных сторон AD и BC четырехугольника ABCD. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку MN проходит через точку P.
1.61. Две высоты треугольника равны между собой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.62. Высоты треугольника ABC, проведенные из вершин B и C, пересекаются в точке M. Известно, что BM = CM. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
1.630. Найдите геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон.
1.64. Докажите, что биссектриса угла является его осью симметрии.
1.65. Через вершины A и C треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC, пересекающие прямые CB и BA в точках K и M соответственно. Найдите AB, если BM = 8, KC = 1.
1.66. Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные прямые под равными углами.
1.67. Дана прямая m и точки A и B по разные стороны от нее. Постройте на прямой m такую точку C, чтобы прямая m делила угол ACB пополам.
1.68. Дана прямая m и точки A и B по одну сторону от нее. Луч света, выпущенный из точки A, отразившись от этой прямой в точке C, попадает в точку B. Постройте точку C. (Угол падения равен углу отражения.)
1.69. Внутри острого угла даны точки M и N. Как из точки M направить луч света, чтобы он, отразившись последовательно от сторон угла, попал в точку N?
1.70. Постройте равнобедренный треугольник, если даны две прямые, на которых лежат биссектрисы его углов при вершине и при основании, и по точке на каждой из боковых сторон.
1.710. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
1.72. Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M, биссектрисы B1B2 и C1C2 треугольника AB1C1 пересекаются в точке N. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.__ 1.73. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна.
1.740. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
1.75. Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, притом единственную.
1.76. Докажите, что две различные окружности не могут иметь более двух общих точек.
1.77. Постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.
1.78. Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.
1.79. Постройте треугольник, если дана одна его вершина и две прямые, на которых лежат биссектрисы, проведенные из двух других вершин.
Параллельность. Сумма углов треугольника
Задачи первого уровня
1.840. Через точку, не лежащую на данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.
1.850. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
1.86. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.
1.87. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что AC k BD и AD k BC.
1.88. Точки A и D лежат на одной из двух параллельных прямых, точки B и C - на другой, причем прямые AB и CD также параллельны. Докажите, что противоположные углы четырехугольника ABCD равны между собой.
1.89. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной B относятся как 3: 10: 5. Найдите углы треугольника ABC.
1.90. Через середину M отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках A и B. Докажите, что M также середина AB.
1.91. Внешние углы треугольника ABC при вершинах A и C равны 115° и 140°. Прямая, параллельная прямой AC, пересекает стороны AB и AC в точках M и N. Найдите углы треугольника BMN.
1.92. Через точку M, лежащую внутри угла с вершиной A, проведены прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие эти стороны в точках B и C. Известно, что ∠ACB = 50°, а угол, смежный с углом ACM, равен 40°. Найдите углы треугольников BCM и ABC.
1.93. Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Докажите, что расстояние от каждой точки одной из двух параллельных прямых до второй прямой постоянно.
1.940. Найдите геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на данное расстояние.
1.95. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.
1.96. AD - биссектриса треугольника ABC. Точка M лежит на стороне AB, причем AM = MD. Докажите, что MD || AC.
1.97. Точки A и D лежат на одной из двух параллельных прямых, точки B и C - на другой, причем прямые AB и CD также параллельны. Докажите, что AB = CD и AD = BC.
1.98. Углы треугольника относятся как 2: 3: 4. Найдите отношение внешних углов треугольника.
1.99. Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон равнобедренного треугольника, параллельна основанию.
1.100. Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.
1.101. Прямая пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной B пересекает прямую А в точке C. Найдите AC, если AB = 1.
1.102. Докажите, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы.
1.103. Угол треугольника равен сумме двух других его углов. Докажите, что треугольник прямоугольный.
1.104. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC, причем ∠ABM = ∠ACB и ∠CBN = ∠BAC. Докажите, что треугольник BMN равнобедренный.
1.105. Угол при основании BC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше угла при вершине A, BD - биссектриса треугольника. Докажите, что AD = BC.
1.106. Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M. При этом BM = AB, ∠BAM = 35°, ∠CAM = 15°. Найдите углы треугольника ABC.
1.107. На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причем MN || AB и MN = AM. Найдите угол BAN, если ∠B = 45° и ∠C = 60°.
1.108. Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M, причем BM = AB. Найдите разность углов BAM и CAM, если ∠ACB = 25°.
1.109. Треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC). Отрезок AM делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями AB и MC. Найдите угол B.
Задачи второго уровня
1.110. Прямая пересекает боковую сторону AC, основание BC и продолжение боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC за точку B в точках K, L и M соответственно. При этом треугольники CKL и BML получаются также равнобедренными. Найдите их углы.
1.111. Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся ею в отношении AO: OB = CO: OD = 1: 2. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник DMB равнобедренный.
1.112. BK - биссектриса треугольника ABC. Известно, что ∠AKB:∠CKB= 4: 5. Найдите разность углов A и C треугольника ABC.
1.113. Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла треугольника.
1.114. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное?
1.115. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 110°. Найдите третий угол треугольника.
1.1160. Один из углов треугольника равен А. Найдите угол между биссектрисами двух других углов.
1.1170. Один из углов треугольника равен a. Найдите угол между высотами, проведенными из вершин двух других углов.
1.118. Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H, причем ∠AHB = 120°, а биссектрисы, проведенные из вершин B и C в точке K, причем ∠BKC = 130°. Найдите угол ABC.
1.119. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?
1.1200. Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
1.1210. Катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Докажите, что угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
1.122. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30◦, а гипотенуза равна 8. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.
1.123. Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC равен 108°. Перпендикуляр к биссектрисе AD этого треугольника, проходящий через точку D, пересекает сторону AC в точке E. Докажите, что DE = BD.
1.124. Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины треугольника.
1.125. В треугольнике ABC угол A равен 60°, а биссектриса угла A, медиана, проведенная из вершины B, и высота, проведенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Найдите остальные углы треугольника.
1.126. Дана незамкнутая ломаная ABCD, причем AB = CD и ∠ABC = ∠BCD. Докажите, что AD k BC.
1.127. Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке K. Известно, что AC || BD. Докажите, что треугольники AKC и BKD равнобедренные.
1.1280. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.
1.129. Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной из вершины прямого угла.
1.130. На стороне AB квадрата ABCD построен равносторонний треугольник ABM. Найдите угол DMC.
1.131. На сторонах AC и BC равностороннего треугольника ABC построены внешним образом равнобедренные прямоугольные треугольники ACN и BCM с прямыми углами при вершинах A и C соответственно. Докажите, что BM ⊥ BN.
1.132. Биссектриса внутреннего угла при вершине A и биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите ∠BMC, если ∠BAC = 40°.
1.1330. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
1.134. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе.
1.135. Кошка сидит на середине лестницы, прислоненной к стене. Концы лестницы начинают скользить по стене и полу. Какова траектория движения кошки?
1.136. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Докажите, что высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят его на три равные части.
1.137. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
1.138. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен 15◦. Найдите гипотенузу.
1.139. В треугольнике ABC проведены медианы AA1, BB1,CC1 и высоты AA2, BB2, CC2. Докажите, что длина ломаной A1B2C1A2B1C2A1 равна периметру треугольника ABC.
1.140. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFK (вершин обоих квадратов перечислены против часовой стрелки). Из точек E и F на прямую AB опущены перпендикуляры EM и FN. Докажите, что EM + FN = AB.
1.141. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFK (вершины обоих квадратов перечислены против часовой стрелки), P - середина KD. Докажите, что CP ⊥ AB.
1.142. Даны точки A и B. Пользуясь только циркулем, удвойте отрезок AB, т. е. постройте такую точку C, чтобы точки A, B и C лежали на одной прямой и AC = 2BC.
1.143. Какие значения может принимать:
а) наибольший угол треугольника;
б) наименьший угол треугольника;
в) средний по величине угол треугольника?
1.1440. Найдите сумму внутренних углов:
а) четырехугольника;
б) выпуклого пятиугольника;
в) выпуклого n-угольника.
1.145. Найдите сумму пяти углов при вершинах пятиконечной звезды.
1.146. Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между
которыми меньше 7°.
1.147. Найдите сумму внешних углов при вершинах выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине.
1.148. На продолжениях гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC за точки A и B соответственно взяты точки K и M, причем AK = AC и BM = BC. Найдите угол MCK.
1.149. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки K и M, причем AK = AC и BM = BC. Найдите угол MCK.
1.150. На одной из сторон данного острого угла лежит точка A. Постройте на этой же стороне угла точку, равноудаленную от второй стороны угла и от точки A.
1.151. Постройте треугольник, если заданы сторона, противотиволежащий ей угол и сумма двух других сторон.
1.152. Постройте треугольник по периметру и двум углам.
1.153. На сторонах BC и CD квадрата ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL правильный.
1.154. На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника?
1.155. Точка K - середина стороны AB квадрата ABCD, точка L расположена на диагонали AC, причем AL: LC = 3: 1. Найдите угол KLD.
1.156. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противолежащую сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его основанию. Докажите, что эта биссектриса также равна основанию треугольника.
1.157. Высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найдите углы треугольника.
1.158. В треугольнике ABC угол B равен 20°, угол C равен 40◦. Биссектриса AD равна 2. Найдите разность сторон BC и AB.
1.159. Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис.
Задачи третьего уровня
1.160. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в 2 раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
1.161. В выпуклом пятиугольнике ABCDE известно, что AE = AD, AC = AB и∠DAC = ∠AEB + ∠ABE. Докажите, что DC в два раза больше медианы AK треугольника ABE.
1.162. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, вдвое меньше другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.
1.163. В треугольнике ABC с углом B, равным 120°, биссектрисы AE, BD и CM пересекаются в точке O. Докажите, что ∠DMO = 30°.
Ответы, указания, решения
