| Подготовил: | студент 2 курса группы ТСУм-21 |
| Таболин Иван Иванович | |
| Проверил: | профессор кафедры ЭАУТС |
| Данилов Александр Дмитриевич | |
СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................................................................................ 3
1 Построение фазовой плоскости релейных систем............................................ 4
2 Понятие о скользящем режиме.......................................................................... 7
3 Общие принципы получения скользящего режима.......................................... 9
4 Условия устойчивости релейных систем........................................................... 16
Заключение............................................................................................................ 19
Список используемой литературы....................................................................... 20
ВВЕДЕНИЕ
Релейные системы представляют собой достаточно большой класс динамических систем, в состав которых входят нелинейные звенья с разрывной характеристикой. В связи с этим к таким системам не могут быть применены методы анализа и синтеза гладких систем. Теория релейных систем является специальным разделом теории управления и представляется в работах ряда известных учёных [2–4]. Она имеет развитое научное обоснование и широкое практическое применение. Вопросы релейного управления тесно связаны с проблемами оптимизации процессов управления. [1]
В данном докладе будут рассмотрены следующие вопросы:
- фазовая плоскость релейных систем;
- понятие о скользящем режиме;
- общие принципы получения скользящего режима;
- условия устойчивости.
1 Построение фазовой плоскости релейных систем
Рассмотрим систему:
Рисунок 1 – Релейная САР
Выразим ошибку ε в изображениях по Лапласу:
 .
| (1) |
Получим дифференциальное уравнение:
 .
| (2) |
Рассмотрим различные ситуации. Если ε < –a, то имеем 
и ошибка будет стремиться к 
. Если ε > a, то имеем 
и ошибка будет стремиться к 
. Т.е. положения равновесия нет. Покажем это на рисунке 2.
Рисунок 2 – Построение фазовой плоскости
Когда ошибка | ε| < a, нужно рассматривать две ситуации. Если ошибка уменьшается (
), то имеем и ошибка будет стремиться к . Если ошибка растёт (
), то имеем и ошибка будет стремиться к 
. Построим окончательную фазовую плоскость (рисунок 3).
Поверхность, на которой происходит переключение структуры системы, а следовательно, и её решений называется поверхностью переключения [1]. В нашем частном случае это называется линией переключения.
Рисунок 3 – Фазовая плоскость релейной системы
Из рисунка можно увидеть асимптотическую устойчивость автоколебаний релейной системы "в малом", "в большом" и "в целом".
2 Понятие о скользящем режиме
На некоторых участках поверхности переключения релейные системы часто демонстрируют нетривиальное поведение – их фазовые траектории после достижения этой поверхности не переходят в другую область знакопостоянства, а следуют поверхности переключения. При этом наблюдаются быстрые переключения управляющего воздействия. Такое поведение связано с нарушением условия переключения и служит проявлением т.н. скользящего режима. [1]
В построенной ранее фазовой плоскости наклоним линии переключения.
Рисунок 4 – Наклон линий переключения
Из рисунка видно, что если на каком-то участке линии переключения фазовая траектория пересекает её в противоположном направлении, то САР начинает скользить в направлении суммарного вектора скоростей.
Введём определение. Режим движения релейной системы вдоль поверхности (линии) переключения, сопровождающийся бесконечно частыми переключениями управления, называется скользящим режимом [1].
Сделаем релейный элемент идеальным (a = 0). Тогда фазовый портрет будет иметь следующий вид.
а б
Рисунок 5 – Фазовые плоскости САР с идеальным релейным элементом
Построим соответствующие переходные процессы.
Рисунок 6 – Переходные процессы САР с идеальным релейным элементом
Последний рисунок показывает, что время регулирования при организации скользящего движения наименьшее из возможных. Однако, чтобы скользящий режим возник без предыдущих очередных переключений, необходимо делать отрезок скольжения как можно протяжёнее.
3 Общие принципы получения скользящего режима
Качественный анализ показывает, что для его создания нужно наклонить линии переключение на фазовой плоскости, тогда на этой линии появится отрезок скольжения.
Для приведённой на рисунке 5а структуры уравнение переключения записывается в виде:
| (3) |
Для приведённой на рисунке 5б структуры с наклонённой линией переключения уравнение переключения:
| (4) |
Условием переключения является знак сигнала на входе нелинейности. Это означает, что для её наклона необходимо подать на вход нелинейного элемента следующий сигнал:
| (5) |
Перепишем условие переключения в виде:
| (6) |
Для нашего примера исходная структура получит следующий вид:
Рисунок 7 – Структура релейной системы со скользящим режимом
Наклон линии переключения увеличивает длину отрезка скольжения, что позволяет получить переходный процесс без перерегулирования.
Рассмотрим способ увеличения протяжённости отрезка скольжения, обеспечивающий кротчайшее попадание фазовой траектории на плоскость S при любых g на примере стабилизации спутника.
Рисунок 8 – Стабилизация спутника на звезду
Уравнение движения можно представить в виде момента силы, создаваемой двигателями коррекции:
| (7) |
Построим структурную схему объекта:
Рисунок 9 – Структурная схема объекта
Введём релейный элемент и замкнём систему:
Рисунок 10 – Замкнутая релейная система стабилизации спутника
Уравнение линии переключения будет иметь вид:
| (8) |
Покажем влияние наклона (значения k2) на переходный процесс при значениях J = 10 000 кг·м2 и fm = 1 000:
Рисунок 11 – Влияние наклона на переходный процесс
Из рисунка следует, что существует оптимальное значение k2, соответствующее наименьшему времени регулирования, но это оптимальное значение теряет свою "оптимальность" при другом задающем воздействии.
Отсюда возникает необходимость построить такую линию переключения, отрезок переключения которой не зависит от задающего воздействия.
Для этого необходимо сформировать линию переключения с бесконечной длиной отрезка скольжения. Это возможно, если линия переключения будет совпадать с фазовой траекторией системы:
Рисунок 12 – Линия переключения с бесконечной длиной отрезка скольжения
Построим такую линию переключения для нашего примера. Пространство состояний будет иметь вид:
| (9) |
В фазовой траектории для плоскости с u = -fm получим:
| (10) |
Для u = fm:
| (11) |
Сформируем уравнение линии переключения, совпадающей с фазовой траекторией в соответствующих плоскостях:
| (12) |
Получим окончательное уравнение для линии переключения:
| (13) |
В результате структура САР приобретает вид:
Рисунок 13 – Окончательная структурная схема релейной системы
Построим фазовую плоскость:
Рисунок 14 – Фазовая плоскость релейной системы слежения
Построим различные переходные процессы:
Рисунок 15 – Влияние входного воздействия на переходной процесс
Замечание. В робастных системах в регуляторе не должны быть использованы параметры объекта. В нашем же случае в уравнении S используется параметр J, который по сути влияет на крутизну параболы (рисунок 14) и, если этот параметр J в регуляторе будет отличаться от параметра J объекта, то система останется работоспособной. Поэтому в уравнении для S целесообразней вместо параметра J записать некоторый коэффициент k = 10 000.
4 Условия устойчивости релейных систем
Для рассматриваемого класса релейных систем можно получить достаточно простые условия асимптотической устойчивости. Запишем уравнение системы в виде:
| (14) |
Пологая 
, найдём, что система имеет по крайней мере одно положение равновесия 
. Для анализа устойчивости системы относительно этого положения равновесия введём в рассмотрение квадратичную функцию Ляпунова:
| (15) |
где 
– некоторая положительно определённая матрица.
После дифференцирования функции Ляпунова по времени и соответствующих подстановок получим:
| (16) |
Пусть матрица 
является решением алгебраических уравнений:
| (17) (18) |
где 
. Тогда уравнение (16) принимает вид:
| (19) |
что обеспечивает 
и, исходя из второго метода Ляпунова, глобальную асимптотическую устойчивость релейной системы.
Сформулируем условия устойчивости. Релейная система глобально асимптотически устойчива относительно положения равновесия х = 0, если для некоторой матрицы Q > 0 существует положительно определённая матрица Р, удовлетворяющая системе уравнений (17)–(18) [1].
Замечание. Необходимым условием существования положительно определённой матрицы Р, удовлетворяющей уравнениям (17)–(18), является строгая вещественно-положительность передаточной функции W (s) = kT (sI – A)–1 b. Последнее свойство, в частности, включает требование устойчивости матрицы А.
Рассмотрим возмущённую систему первого порядка:
| (20) |
где w = w (t) – сигнальное возмущающее воздействие, b > 0 – переменный параметр.
В отсутствие возмущения w условия скользящего режима в точке х = 0 всегда выполняются и не зависят от параметра b. При этом эквивалентное управление u имеет нулевое значение.
Для возмущённой системы условия скользящего режима принимают вид:
| (21) |
а эквивалентное управление:
| (22) |
Таким образом, рассмотренная система демонстрирует нечувствительность движения в скользящем режиме для широкого диапазона параметрических и сигнальных воздействий.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подведём итоги.
В данном докладе был рассмотрен наиболее распространённый класс одноканальных систем, в состав которых входит простейшее релейное звено. Рассматривались основные особенности поведения релейных систем, их свойства в скользящем режиме, а также затрагивались вопросы устойчивости релейных систем.
Отличительной особенностью поведения релейных систем после переключения управления u является получение отрезков фазовых траекторий, проходящих вдоль линии переключения. После достижения линии переключения фазовые траектории релейных систем часто следуют поверхности переключения, т.е. возникает скользящий режим.
Условия устойчивости, включающие устойчивость матрицы А, обычно оказывается чрезмерно жёсткими – асимптотическая устойчивость релейной системы часто может быть достигнута и для объектов управления, не удовлетворяющим требованию устойчивости.
Следует отметить, что несмотря на очевидные достоинства релейных систем в скользящем режиме, заключающее в инвариантности к внешним воздействиям и возможности получения достаточно быстрых переходных процессов, на практике такие системы обнаруживают целый ряд существенных недостатков. К последним относятся значительные энергетические потери, связанные с использованием предельно допустимых значений управляющих воздействий ±1, а также высокочастотные колебания переменных состояния и, как следствие, вибрация механических элементов прикладных систем управления. [1]
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. / И.В. Мирошник – СПб.: Питер, 2006.
2 Теория систем с переменной структурой / под ред. С.В. Емельянова – М.: Наука, 1970.
3 Цыпкин Я.З. Основы теории автоматического управления. / Я.З. Цыпкин – М.: Наука, 1977.
4 Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. / В.И. Уткин – М.: Наука, 1974.