ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Сборник типовых расчетов
для студентов специальности
1-45 01 03 – Сети телекоммуникаций
Минск
УДК 517.58
ББК 22.161
Т11
Рекомендовано к изданию
кафедрой математики и физики
24 апреля 2009, протокол № 9
Составители:
Л. Л. Гладков, доцент кафедры математики и физики,
доктор физ.-мат. наук;
Г. А. Гладкова, доцент кафедры математики и физики,
канд. техн. наук
Рецензент
Е. М. Колодная, старший преподаватель
кафедры математики и физики
| Т11 | Теориявероятностей и математическая статистика: сборник типовых расчетов для студентов специальности 1-45 01 03 – Сети телекоммуникаций / сост. Л. Л. Гладков, Г. А. Гладкова. – Минск: ВГКС, 2009. – 32 с. Сборник содержит условия 240 задач, направлен на активизацию самостоятельной работы студентов по изучению дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Предназначено для студентов и преподавателей колледжа. УДК 517.58 ББК 22.161 |
©Учреждение образования
«Высший государственный
колледж связи», 2009
ВВЕДЕНИЕ
Преподаватель, который проводит практические занятия, указывает каждому студенту индивидуально номер варианта. Задачи, которые необходимо выполнить, определяются с помощью приведенной ниже таблицы. В первом столбце указаны варианты типового расчета, в последующих столбцах приведены номера задач, которые следует выбрать из двенадцати заданий.
При оформлении типового расчета для замечаний преподавателя оставляются поля. Решение задач необходимо располагать в порядке возрастания номеров заданий. Перед решением задачи полностью записывается ее условие. Решение следует сопровождать короткими пояснениями и ответом в конце решения. Все вычисления производить с точностью до 0,001. Чертежи должны быть выполнены аккуратно.
Получив проверенную работу, студент обязан выполнить указания, сделанные рецензентом. Если работа не зачтена, следует сделать работу над ошибками в той же тетради и представить работу на повторную рецензию.
К сдаче экзамена или зачета допускаются студенты, защитившие зачтенные типовые расчеты.
| Номер варианта | Номера заданий | |||||||||||
| Номер варианта | Номера заданий | |||||||||||
| Номер варианта | Номера заданий | |||||||||||
Типовой расчет № 1
Задание 1
1.1 В партии готовой продукции, состоящей из 20 изделий, 4 бракованные. Найти вероятность того, что при случайном выборе 4-х изделий число бракованных и небракованных изделий окажется поровну.
1.2 В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу выбраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников.
1.3 Для производственной практики на 30 студентов представлено 15 мест в Москве, 8 – в Самаре, 7 – в Саратове. Найти вероятность того, что два студента попадут на практику в один город.
1.4 В урне 16 шаров, из них 8 белых. Какова вероятность того, что среди отобранных наудачу 10 шаров 6 белых?
1.5 Студенту во время экзаменационной сессии необходимо сдать четыре экзамена: математику, физику, химию и теоретическую механику. Предполагая, что все варианты следования экзаменов друг за другом равновозможными, найти вероятность того, что: а) экзамен по физике будет не ранее, чем экзамен по химии; б) экзамен по теоретической механике будет первым, а экзамен по химии – последним.
1.6 Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
1.7 На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух.
1.8 Из урны, в которой 7 белых и 3 черных шара, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что третьим по порядку будет вынут белый шар.
1.9 Из пяти карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 произвольным образом выбираются две и укладываются на стол в порядке их появления. Предполагая, что все возможные исходы данного опыта равноправны, найти вероятность того, что полученное таким образом двузначное число будет кратно трем.
1.10 Абонент, забыв три последние цифры номера телефона, знает только, что они различные. Найти вероятность того, что при случайном наборе он попадет в нужное место с первого раза.
1.11 Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера. Все кубики перемешены. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.
1.12 В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что извлеченные наугад два шара окажутся: а) черными; б) белыми; в) разного цвета?
1.13 Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названным двузначным числом; б) случайно названным двузначным числом, цифры которого различны.
1.14 Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины: а) состоит из одинаковых цифр; б) содержит две пары одинаковых цифр.
1.15 На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они: а) не будут «бить» друг друга; б) будут «бить» друг друга?
1.16 На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад по порядку. Какова вероятность того, что при этом получится слово МОСКВА?
1.17 На шести одинаковых карточках написаны буквы А, А, А, Н, Н, С. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад по порядку. Какова вероятность того, что при этом получится слово АНАНАС?
1.18 Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в должном порядке слева направо?
1.19 Студент знает 30 из 35 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
1.20 Найти вероятность того, что в декабре наудачу взятого года будет 4 воскресенья.
Задание 2
2.1 Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет ровно одно попадание.
2.2 При изготовлении детали заготовка должна пройти три операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,01; на третьей – 0,05.
2.3 Из колоды в 52 карты вынимают одновременно 4 карты. Событие А – среди вынутых карт хотя бы одна бубновая, В – хотя бы одна червонная. Найти Р (А + В).
2.4 Для оповещения об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0.90 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
2.5 Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго станка – 0,8; для третьего – 0,9; для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа два станка не потребуют внимания рабочего.
2.6 Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него бросить 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
2.7 Мастер обслуживает пять станков. 20% рабочего времени он проводит у 1-го станка, 10% − у 2-го, 15% − у 3-го, 25% − у 4-го, 30% − у 5-го. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у 1-го или 3-го станка.
2.8 Данное предприятие в среднем выпускает 30% изделий высшего сорта и 70% изделий первого сорта. Найти вероятность того, что два случайно отобранных изделия будут: а) высшего сорта; б) одно высшего, одно первого сорта.
2.9 Вероятность умереть на 61-м году человеку, достигшему 60-летнего возраста, равна в определенных условиях 0,09. Какова в этих условиях вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет: а) трое будут живы через год; б) не менее двух будут живы через год?
2.10 В совхозную мастерскую для ремонта поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждается в замене двигателя, остальные – в замене отдельных узлов. Наугад отбираются 2 трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима: 1) в одном тракторе; 2) хотя бы в одном тракторе.
2.11 Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет ровно одно попадание.
2.12 При данном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен: 1) двумя станциями; 2) не менее, чем двумя станциями.
2.13 На участке кросса для мотоциклиста имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4; второго – 0,5; третьего – 0,6. Найти вероятность успешного прохождения: 1) двух препятствий; 2) хотя бы одного препятствия.
2.14 Вероятность успешной сдачи первого экзамена для данного студента равна 0,9; второго экзамена – 0,8; третьего – 0,7. Найти вероятность того, что будет сдано не менее двух экзаменов.
2.15 В урне 2 белых и 3 черных шара. Дважды извлекают без возвращения по одному шару. Найти вероятность того, что извлечены шары разного цвета.
2.16 Три охотника, имеющие по одному патрону, договорились стрелять по дичи в определенной последовательности: начинает первый, затем стреляет второй, потом третий, причем следующий стреляет лишь в случае промаха предыдущего. Вероятность попадания для первого охотника равна 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) три выстрела; б) не более двух выстрелов.
2.17 Абонент забыл последнюю цифру номера. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в 4 места.
2.18 По самолету производится 4 выстрела. Вероятность попадания при каждом равна 0,3. Для поражения самолета достаточно 2 попаданий, а при одном попадании он выходит из строя с р = 0,6. Найти вероятность того, что самолет выйдет из строя.
2.19 При радиостанции независимо друг от друга передают по одному сообщению. Вероятности приема этих сообщений четвертой станцией равны 0,9; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что а) будет принято хотя бы одно сообщение; б) будет принято только одно из сообщений.
2.20 Имеется по 3 ракеты двух типов: А и В. По одной и той же цели намечен пуск сначала ракетами типа А, затем – типа В. При первом же попадании цель разрушается, и пуск ракет прекращается. Вероятность попадания при пуске одной ракеты типа А равна 0,3; при пуске ракеты типа В – 0,4. Найти вероятность того, что а) не все ракеты будут израсходованы; б) будут израсходованы ракеты типа А.
Задание 3
3.1 Радиолокационная станция ведет наблюдения за объектом, который может применять или не применять помехи. Если объект не применяет помехи, то он обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью 0,9; если применяет помехи, то с вероятностью 0,6. Известно, что объект применяет помехи в 70 % случаев работы. Найти вероятность обнаружения объекта радиолокационной станцией.
3.2 В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны извлекают по одному шару, а затем из этих 2-х шаров наугад выбирают один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
3.3 На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 % и третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
3.4 Два станка производят детали, поступающие в сборочный цех. Вероятность получения брака на первом станке – 0,06; на втором – 0,04. Производительность второго станка в три раза больше производительности первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованная.
3.5 Рабочий обслуживает 4 автомата. Вероятность брака для первого автомата равна 0,03; для второго – 0,02; для третьего – 0,04, для четвертого − 0,02. Производительность первого автомата в три раза больше, чем второго, третьего в два раза меньше, чем второго, а четвертого равна производительности первого автомата. Изготовленные детали попадают на общий конвейер. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет годной.
3.6 В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных, во второй – 10, из которых 3 неисправных. Наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки вероятнее всего он взят?
3.7 В оснащение парадной люстры входят 6 электроламп первого типа, 10 – второго и 24 – третьего. Гарантийный срок обычно выдерживают 80 % ламп первого типа и 90 % второго и третьего. Найти вероятность того, что наугад взятая электролампа, выдержавшая гарантийный срок, первого типа.
3.8 Два автомата производят детали. Производительность второго автомата вдвое больше производительности первого. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй 84 %. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
3.9 Прибор состоит из двух параллельно соединенных узлов, дублирующих работу друг друга, и может функционировать в двух режимах: благоприятном с вероятностью р 1 и в неблагоприятном 
. В благоприятном режиме надежность работы каждого из узлов равна 
, в неблагоприятном – 
. Найти надежность работы прибора.
3.10 Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 10:7. Статические свойства помех таковы, что искажается в среднем 1/5 сообщений «точка» и 2/7 сообщений «тире». Передаваемый сигнал был искажен. Найти вероятность того, что это был сигнал «тире».
3.11 Два охотника одновременно стреляют в кабана. Известно, что первый попадет с вероятностью 0,8, а второй с вероятностью 0,4. Кабан убит, и в нем обнаружена одна пуля. Что вероятнее: попал первый охотник или второй?
3.12 На предприятии изготовляют изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема из производства, на второй – 30%, на третьей – 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95, 98 и 97%. Требуется определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано на первой, второй и третьей линиях.
3.13 Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали второй и третий элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны: 0,25; 0,3 и 0,4.
3.14 В первой урне содержится 10 шаров, среди них 6 белых; во второй урне 15 шаров, из них 9 белых. Из первой урны переложили во вторую один шар, после чего из второй урны извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба они белые.
3.15 Число грузовых машин, проезжающих мимо колонки относится к числу легковых машин, как 3:2. Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,1, а легковая – 0,2. У бензоколонки заправляется машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
3.16 Есть 10 монет, 8 с цифровым обозначением и изображением герба, а на двух герб находится с обеих сторон. Наудачу взятая монета бросается 3 раза. Найти вероятность того, что выпадут 3 герба.
3.17 Есть четыре кубика с цифрами на гранях: 1, 2,..., 6 – и одна правильная – пирамида с цифрами на гранях: 1, 2, 3, 4. Наугад выбрали предмет и бросили, выпала цифра 4. Найти вероятность того, что взяли кубик.
3.18 В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью. Из третьей урны взят один шар. Найти вероятность того, что он белый.
3.19 В больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% с заболеванием В, 20% с заболеванием С. Вероятность полного выздоровления для каждого заболевания соответственно равны: 0,7, 0,8 и 0,9. Больной был выписан из больницы здоровым. Найти вероятность того, что он страдал заболеванием А.
3.20 Имеется три урны. В первой − «a» белых и «b» черных шаров; во второй − «c» белых и «d» черных; в третьей − только белые. Найти вероятность того, что при одноразовом вынимании шара он будет белым.
Задание 4
В задачах 4.1–4.20 приведены схемы соединения элементов. Отказ любого из них приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится элемент. Предполагается, что элементы работают независимо друг от друга. В примерах 4.1–4.10 найти вероятность прохождения сигнала через цепь, если надежность (вероятность безотказной работы в течение заданного промежутка времени) каждого из элементов равна 0,8. В примерах 4.11–4.20найти вероятность того, что сигнал не пройдет по цепи, если вероятности выхода из строя в течение заданного промежутка времени каждого из элементов равна 0,1.
4.1, 4.11
4.2, 4.12
4.3, 4.13
4.4, 4.14
4.5, 4.15
4.6, 4.16
4.7, 4.17
4.8, 4.18
4.9, 4.19
4.10, 4.20
Задание 5
5.1 Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
5.2 Наблюдение установило, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 18 дождливых дней. Найти вероятность того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 6 дней окажется менее двух дождливых дней.
5.3 Вероятность попадания стрелком в цель при каждом выстреле равна 0,4. Произведено 8 выстрелов. Найти вероятности: а) трех попаданий; б) не менее двух попаданий.
5.4 Вероятность того, что изделие пройдет контроль, равна 0,8. Найти вероятность того, что из шести изделий контроль пройдут: а) пять изделий; б) не менее четырех изделий.
5.5 Вероятность попасть в судно одной торпедой равна 0,2. Выпущено 5 торпед. Найти вероятность того, что имеет место: а) три попадания в судно; б) не менее четырех попаданий.
5.6 Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет?
5.7 Вероятность выиграть по одной облигации государственного займа равна 1/3. Найти вероятность того, что, имея 6 облигаций этого займа, можно выиграть: а) по трем облигациям; б) не менее, чем по двум облигациям.
5.8 Вероятность того, что студент сдаст экзамен, равна 0,9. Вычислить вероятность того, что из четырех экзаменов студент сдаст а) два экзамена; б) хотя бы один экзамен.
5.9 Сообщение может передаваться по одному из десяти каналов связи. Вероятность правильной передачи сообщения для всех каналов равна 0,9. Найти вероятность того, что а) три канала передадут сообщение с искажениями; б) посланное сообщение будет передано без искажений всеми каналами.
5.10 Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,3. Одновременно сбрасывается 6 бомб. Найти вероятность того, что в цель попадут: а) четыре бомбы; б) не менее пяти бомб.
5.11 Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,3. Сколько таких бомб надо сбросить, чтобы вероятность ее поражения была не менее 0,8? Для поражения цели достаточно одного попадания.
5.12 Вероятность перевыполнения годового плана для каждого из 8 рабочих равна 0,8. Найти вероятность того, что из 8 рабочих перевыполнят годовой план: а) трое рабочих; б) не менее пяти рабочих.
5.13 Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна 0,6. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t откажет: а) ровно один узел; б) не более трех узлов.
5.14 Вероятность рождения мальчика равна 0,51. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей будет: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков.
5.15 Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы вероятность появления хотя бы одного «герба» была не менее 0,8?
5.16 Монету бросают 9 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б)