1. Пусть 
— решение дифференциального уравнения 
. Показать, что введение новой искомой функции 
приводит к дифференциальному уравнению, допускающему понижение порядка.
2. Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба графиков решений уравнения 
.
3. Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения , соответствующие максимумам и минимумам. Как отличить максимум от минимума?
4. Линейное дифференциальное уравнение останется линейным при замене независимой переменной 
, где функция 
произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз: Доказать это утверждение для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
5. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейный при преобразовании искомой функции
.
Здесь 
— новая искомая функция, 
и 
— произвольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.
6. Составить общее.решение уравнения 
, если известно ненулевое частное решение этого уравнения.
7. Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции 
и 
являются решениями линейного дифференциального уравнения.
8. Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее решения 
, 
.
Показать, что функции 
и 
линейно -независимы в интервале 
.
Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке 
. Почему это не противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?
9. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, если известны три линейно-независимые частные его решения , 
и 
.
|
|
10. Доказать, что для того чтобы любое решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию 
, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части.
Расчетные задания
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде 
.)
1.1. 
1.2. 
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
1.7. 
1.8. 
1.9. 
1.10. 
1.11. 
1.12. 
1.13. 
1.14. 
1.15. 
1.16. 
1.17. 
1.18. 
1.19. 
1.20. 
1.21. 
1.22. 
1.23. 
1.24. 
1.25. 
1.26. 
1.27. 
1.28. 
1.29. 
1.30. 
1.31. 
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
2.1. 
2.2. 
2.3. 
2.4. 
2.5. 
2.6. 
2.7. 
2.8. 
2.9. 
2.10. 
2.11. 
2.12. 
2.13. 
2.14. 
2.15. 
2.16. 
2.17. 
2.18. 
2.19. 
2.20. 
2.21. 
2.22. 
2.23. 
2.24. 
2.25. 
2.26. 
2.27. 
2.28. 
2.29. 
2.30. 
2.31. 
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
3.5. 
3.6. 
3.7. 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
3.11. 
3.12. 
3.13. 
3.14. 
3.15. 
3.16. 
3.17. 
3.18. 
3.19. 
3.20. 
3.21. 
3.22. 
3.23. 
3.24. 
3.25. 
3.26. 
3.27. 
3.28. 
3.29. 
3.30. 
3.31. 
Задача 4. Найти решение задачи Коши.
4.1. 
4.2. 
4.3. 
4.4. 
4.5. 
4.6. 
4.7. 
4.8. 
4.9. 
4.10. 
4.11. 
4.12. 
4.13. 
4.14. 
4.15. 
4.16. 
4.17. 
4.18. 
4.19. 
4.20. 
4.21. 
4.22. 
4.23. 
4.24. 
4.25. 
4.26. 
4.27. 
4.28. 
4.29. 
4.30. 
4.31. 
Задача 5. Решить задачу Коши.
5.1. 
5.2. 
5.3. 
5.4. 
5.5. 
5.6. 
5.7. 
5.8. 
5.9. 
5.10. 
5.11. 
5.12. 
5.13. 
5.14. 
5.15. 
5.16. 
5.17. 
5.18. 
5.19. 
5.20. 
5.21. 
5.22. 
5.23. 
5.24. 
5.25. 
5.26. 
5.27. 
5.28. 
5.29. 
5.30. 
5.31. 
Задача 6. Найти решение задачи Коши.
6.1. 
6.2. 
6.3. 
6.4. 
6.5. 
6.6. 
6.7. 
6.8. 
6.9. 
6.10. 
6.11. 
6.12. 
6.13. 
6.14. 
6.15. 
6.16. 
6.17. 
6.18. 
6.19. 
6.20. 
6.21. 
6.22. 
6.23. 
6.24. 
6.25. 
6.26. 
6.27. 
6.28. 
6.29. 
6.30. 
6.31. 
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
7.1. 
|
|
7.2. 
7.3. 
7.4. 
7.5. 
7.6. 
7.7. 
7.8. 
7.9. 
7.10. 
7.11. 
7.12. 
7.13. 
7.14. 
7.15. 
7.16. 
7.17. 
7.18. 
7.19. 
7.20. 
7.21. 
7.22. 
7.23. 
7.24. 
7.25. 
7.26. 
7.27. 
7.28. 
7.29. 
7.30. 
7.31. 
Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку 
.
8.1. 
8.2. 
8.3. 
8.4. 
8.5. 
8.6. 
8.7. 
8.8. 
8.9. 
8.10. 
8.11. 
8.12. 
8.13. 
8.14. 
8.15. 
8.16. 
8.17. 
8.18. 
8.19. 
8.20. 
8.21. 
8.22. 
8.23. 
8.24. 
8.25. 
8.26. 
8.27. 
8.28. 
8.29. 
8.30. 
8.31. 
Задача 9. Найти линию, проходящую через точку 
и обладающую тем свойством, что в любой ее точке нормальный вектор 
с концом на оси 
имеет длину, равную 
, и образует острый угол с положительным направлением оси .
9.1. 
9.2. 
9.3. 
9.4. 
9.5. 
Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении 
(считая от оси ).
9.6. 
9.7. 
9.8. 
9.9. 
9.10. 
Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении (считая от оси ).
9.11. 
9.12. 
9.13. 
9.14. 
9.15. 
Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении (считая от оси ).
9.16. 
9.17.
9.18. 
9.19. 
9.20. 
Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой ее точке касательный вектор с концом на оси 
имеет проекцию на ось , обратно пропорциональную абсциссе точки . Коэффициент пропорциональности равен .
9.21. 
9.22. 
9.23. 
9.24. 
9.25. 
Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой ее точке касательный вектор с концом на оси имеет проекцию на ось , равную .
|
|
9.26. 
9.27. 
9.28. 
9.29. 
9.30. 
9.31. 
Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
10.1. 
10.2. 
10.3. 
10.4. 
10.5. 
10.6. 
10.7. 
10.8. 
10.9. 
10.10. 
10.11. 
10.12. 
10.13. 
10.14. 
10.15. 
10.16. 
10.17. 
10.18. 
10.19. 
10.20. 
10.21. 
10.22. 
10.23. 
10.24. 
10.25. 
10.26. 
10.27. 
10.28. 
10.29. 
10.30. 
10.31. 
Задача 11. Найти решение задачи Коши.
11.1. 
11.2. 
11.3. 
11.4. 
11.5. 
11.6. 
11.7. 
11.8. 
11.9. 
11.10. 
11.11. 
11.12. 
11.13. 
11.14. 
11.15. 
11.16. 
11.17. 
11.18. 
11.19. 
11.20. 
11.21. 
11.22. 
11.23. 
11.24. 
11.25. 
11.26. 
11.27. 
11.28. 
11.29. 
11.30. 
11.31. 
Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.
12.1. 
12.2. 
12.3. 
12.4. 
12.5. 
12.6. 
12.7. 
12.8. 
12.9. 
12.10. 
12.11. 
12.12. 
12.13. 
12.14. 
12.15. 
12.16. 
12.17. 
12.18. 
12.19. 
12.20. 
12.21. 
12.22. 
12.23. 
12.24. 
12.25. 
12.26. 
12.27. 
12.28. 
12.29. 
12.30. 
12.31. 
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.
13.1. 
13.2. 
13.3. 
13.4. 
13.5. 
13.6. 
13.7. 
13.8. 
13.9. 
13.10. 
13.11. 
13.12. 
13.13. 
13.14. 
13.15. 
13.16. 
13.17. 
13.18. 
13.19. 
13.20. 
13.21. 
13.22. 
13.23. 
13.24. 
13.25. 
13.26. 
13.27. 
13.28. 
13.29. 
13.30. 
13.31. 
Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.
14.1. 
14.2. 
14.3. 
14.4. 
14.5. 
14.6. 
14.7. 
14.8. 
14.9. 
14.10. 
14.11. 
14.12. 
14.13. 
14.14. 
14.15. 
14.16. 
14.17. 
14.18. 
14.19. 
14.20. 
14.21. 
14.22. 
14.23. 
14.24. 
14.25. 
14.26. 
14.27. 
14.28. 
14.29. 
14.30. 
14.31. 
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.
15.1. 
15.2. 
15.3. 
15.4. 
15.5. 
15.6. 
15.7. 
15.8. 
15.9. 
15.10. 
15.11. 
15.12. 
15.13. 
15.14. 
15.15. 
15.16. 
15.17. 
15.18. 
15.19. 
15.20. 
15.21. 
15.22. 
15.23. 
15.24. 
15.25. 
15.26. 
15.27. 
15.28. 
15.29. 
15.30. 
15.31. 
Задача 16. Найти решение задачи Коши.
16.1. 
16.2. 
16.3. 
16.4. 
16.5. 
16.6. 
16.7. 
16.8. 
16.9. 
16.10. 
16.11. 
16.12. 
16.13. 
16.14. 
16.15. 
16.16. 
16.17. 
16.18. 
16.19. 
16.20. 
16.21. 
16.22. 
16.23. 
16.24. 
16.25. 
16.26. 
16.27. 
16.28. 
16.29. 
16.30. 
16.31. 
VI. РЯДЫ
Теоретические вопросы
1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
2. Теоремы сравнения.
3. Признаки Даламбера и Коши.
4. Интегральный признак сходимости ряда.
5. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
6. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.
7. Понятие равномерной сходимости.
8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
9. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
10. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
11. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.
12. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
13. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
14. Разложение по степеням бинома 
.
15. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
16. Разложение по степеням функций 
, 
, 
, 
.