Контрольная работа
Дисциплина:
«Высшая математика»
Тема:
«Универсальная тригонометрическая подстановка»
Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются 
. Например,
, 
, 
.
В то же время функция 
рациональной не является.
Теорема. Интеграл вида 
с помощью подстановки 
преобразуется в интеграл от рациональной дроби.
Для доказательства выразим 
, 
и 
через 
:
;
;
.
В результате проведенных преобразований , и превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем:
.
В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.
Подстановка
, 
, 
, 
называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции
Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида . Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.
1. Интегралы типа 
удобно вычислять с помощью подстановки 
. Тогда 
и получаем простой интеграл 
.
2. Интегралы типа 
удобно вычислять с помощью подстановки 
. Тогда 
и интеграл приводится к виду 
.
3. Если подынтегральная функция зависит только от 
(
), то удобна замена 
. В этом случае 
и 
. В результате получаем 
.
4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней и , то есть 
, то в этом случае также удобна замена . При этом:
;
;
.
Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.
Пусть дан интеграл 
, где 
и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что 
. Тогда
.
Далее делается замена , и получаем 
.
6. Пусть дан интеграл 
, где 
и 
неотрицательные и четные. Положим, что 
, 
. Тогда
; 
.
Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле 
, получаем снова случаи 5 или 6.
7. Пусть дан 
, где 
и 
– четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.
8. В случае 
используется тригонометрическая формула
и интеграл превращается в два табличных интеграла.
9. В случае 
используется тригонометрическая формула
.
10. В случае 
используется тригонометрическая формула
.
3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида 
Рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от 
и 
. Вначале выполняется выделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков 
и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов:
, 
, 
.
Следующий шаг:
1) 
рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Замена переменной в неопределённом интеграле.
2) рационализируется подстановкой 
(или 
, или 
).
3) 
рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или x = a sh t).
Пример 1. 
. Интеграл вида 
, из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t.
,
поэтому 
или
.
Пример 2.
