Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) z = a + bi можно записать в тригонометрической форме: , где z – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа

Изобразим на комплексной плоскости число z = a + bi. Для определённости расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что a > 0, b > 0:

Модулем комплексного числа ^z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Иначе, модуль – это длина радиус-вектора. Модуль комплексного числа ^z стандартно обозначают: |z| или ^r.

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: z = a² + b². Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа ^z называется угол между положительнойполуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: z = 0.

Аргумент комплексного числа ^z стандартно обозначают: или arg z.

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: . Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой.

Пример: Представить в тригонометрической форме комплексные числа: z₁ = 1, z_{2 =} 2i, z_{3 =} -3, z₄ = -4i

Выполним чертёж:

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси).

Таким образом, число в тригонометрической форме:

Обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Таким образом, число в тригонометрической форме:

Обратно получим алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Таким образом, число в тригонометрической форме:

Проверка:

4) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Аргумент можно записать двумя способами:

Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: .

Проверка:

Второй способ: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов).

Легко заметить, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

Итак, как уже отмечалось, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта:

1) Если a > 0 (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если a < 0, b > 0 (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если a < 0, b < 0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку a > 0 (случай 1), то . Таким образом: – z₁ число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку a < 0, b > 0 (случай 2), то

– число z₂ в тригонометрической форме.

Есть простой способ проверки. Если выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку a < 0, b < 0 (случай 3), то . Таким образом: – z₃ число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку a > 0 (случай 1), то (минус 60 градусов).

Таким образом:

– число z₄ в тригонометрической форме.

Кроме графического метода проверки, существует и проверка аналитическая. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол (или 300 градусов):

– z₄ число в исходной алгебраической форме.

Любое комплексное число (кроме нуля) z = a + bi можно записать в показательной форме: , где |z| – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .

Число в показательной форме будет выглядеть так:

Число – так: