Исполнитель:
Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
2. Группы с 
-перестановочными 
-максимальными подгруппами
3. Группы, в которых 
-максимальные подгруппы перестановочны с 
-максимальными подгруппами
4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами 
обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств 
и знак строгого включения 
;
и 
- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех 
для которых выполняется условие 
;
- множество всех натуральных чисел;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. 
;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, 
;
примарное число - любое число вида 
;
Пусть 
- группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента 
группы ;
- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
- множество всех простых делителей порядка группы ;
- множество всех различных простых делителей натурального числа 
;
-группа - группа , для которой 
;
-группа - группа , для которой 
;
- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- -ый коммутант группы ;
- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская подгруппа группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. 
-холловская подгруппа группы ;
- группа всех автоморфизмов группы ;
- 
является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- 
является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. 
для любого автоморфизма 
;
- индекс подгруппы в группе ;
;
- централизатор подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая группа порядка ;
- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если 
и 
- подгруппы группы , то:
- прямое произведение подгрупп и ;
- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
- и изоморфны.
Группа называется:
примарной, если 
;
бипримарной, если 
.
Скобки 
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется 
.
, где 
.
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в 
;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо 
-группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо 
-группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа 
группы 
такая, что 
нильпотентна.
разрешимой, если существует номер 
такой, что 
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе 
группы называется такая подгруппа 
из 
, что 
.
Минимальная нормальная подгруппа группы 
- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
- цоколь группы 
.
Экспонента группы - это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп 
называется:
субнормальным, если 
для любого 
;
нормальным, если 
для любого 
;
главным, если 
является минимальной нормальной подгруппой в 
для всех 
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
- класс всех нильпотентных групп;
- класс всех разрешимых групп;
- класс всех -групп;
- класс всех сверхразрешимых групп;
- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей 
.
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть 
- некоторый класс групп и - группа, тогда:
- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых 
. Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит 
. Если 
- формация всех сверхразрешимых групп, то 
называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из 
следует, что и 
.
Класс групп 
называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что 
следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и 
состоит из всех групп , для которых 
, т.е. 
.
Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа 
группы называется -абнормальной, если 
.
Подгруппы и 
группы называются перестановочными, если 
.
Пусть , -подгруппы группы и 
. Тогда 
называется:
(1) -перестановочной с , если в имеется такой элемент 
, что 
;
(2) наследственно -перестановочной с , если в 
имеется такой элемент 
, что 
.
Пусть 
- максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора 
, где 
и 
, и обозначают символом 
.
Подгруппа группы называется 
-максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в , если в найдется такая максимальная подгруппа 
, в которой является максимальной подгруппой. Аналогично определяют 
-максимальные (третьи максимальные) подгруппы, 
-максимальные подгруппы и т.д.
Введение
Подгруппы и 
группы 
называются перестановочными, если 
. Подгруппа группы называется перестановочной или квазинормальной в 
, если перестановочна с каждой подгруппой группы .
Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина. Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля 
-квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы 
группы 
факторгруппа 
нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая 
-квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если порождается своими -элементами и -подгруппа группы 
-квазинормальна в , то факторгруппа нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в подгруппы 
факторгруппа 
абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.
Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства 
-квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы . Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если 
- квазинормальная подгруппа конечной группы , то факторгруппа 
содержится в гиперцентре факторгруппы 
, где 
- ядро подгруппы 
. Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.
Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны с силовскими подгруппами из , и группа разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа 
и такое ее дополнение 
, что перестановочна со всеми максимальными подгруппами из . Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы при условии, что 
, где все подгруппы из 
перестановочны со всеми подгруппами из 
. Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп.
В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы 
и 
называются 
-перестановочными, где 
, если в 
имеется такой элемент 
, что 
. Используя понятие -перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных -перестановочных подгрупп для подходящих 
. Согласно, группа 
является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа 
нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом. Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских 
-подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.
По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения -максимальных, 
-максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение -максимальных, 
-максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем, а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы.
Оказалось, что группы, у которых все -максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все -максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их -максимальные подгруппы сверхразрешимы.
В последние годы получен ряд новых интересных результатов о 
-максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего, в которых на языке -максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа 
группы обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора 
группы выполняется одно из двух условий 
или 
. В работе доказано, что группа разрешима тогда и только тогда, когда в имеется такая -максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от -максимальных подгрупп их силовских подгрупп.
Пусть 
и 
- подгруппы группы . Тогда подгруппа называется -перестановочной с 
, если в найдется такой элемент 
, что . В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия -перестановочности для -максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой -максимальной подгруппы 
группы , имеющей непримарный индекс, в найдется такая нильпотентная подгруппа 
, что 
и 
-перестановочна со всеми подгруппами из .
Пусть 
- набор всех 
-максимальных подгрупп группы .
Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из 
, существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа разрешима, если любая подгруппа из перестановочна со всеми подгруппами из 
для всех 
, где 
. В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.
2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами
Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.
[2.1]. Пусть - группа, 
- ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа метанильпотентна.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы 
факторгруппа 
метанильпотентна.
Рассмотрим факторгруппу 
. Пусть 
- произвольная максимальная в подгруппа и 
- произвольная -максимальная подгруппа. Тогда максимальна в и -максимальна в , а значит, по условию подгруппа -перестановочна с подгруппой . Но тогда, согласно лемме, подгруппа 
-перестановочна с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но 
и поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).
(2) - разрешимая группа.
Если в группе существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе все 
-максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы