Исполнитель:
Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами
3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех для которых выполняется условие ;
- множество всех натуральных чисел;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число - любое число вида ;
Пусть - группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента группы ;
- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
- множество всех простых делителей порядка группы ;
- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
-группа - группа , для которой ;
-группа - группа , для которой ;
- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- -ый коммутант группы ;
- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская подгруппа группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
- группа всех автоморфизмов группы ;
- является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
- индекс подгруппы в группе ;
;
- централизатор подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая группа порядка ;
- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если и - подгруппы группы , то:
- прямое произведение подгрупп и ;
- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
- и изоморфны.
Группа называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
, где .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Минимальная нормальная подгруппа группы - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
- цоколь группы .
Экспонента группы - это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
- класс всех нильпотентных групп;
- класс всех разрешимых групп;
- класс всех -групп;
- класс всех сверхразрешимых групп;
- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть - некоторый класс групп и - группа, тогда:
- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. .
Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .
Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
Пусть , -подгруппы группы и . Тогда называется:
(1) -перестановочной с , если в имеется такой элемент , что ;
(2) наследственно -перестановочной с , если в имеется такой элемент , что .
Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .
Подгруппа группы называется -максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в , если в найдется такая максимальная подгруппа , в которой является максимальной подгруппой. Аналогично определяют -максимальные (третьи максимальные) подгруппы, -максимальные подгруппы и т.д.
Введение
Подгруппы и группы называются перестановочными, если . Подгруппа группы называется перестановочной или квазинормальной в , если перестановочна с каждой подгруппой группы .
Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина. Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля -квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы группы факторгруппа нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая -квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если порождается своими -элементами и -подгруппа группы -квазинормальна в , то факторгруппа нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в подгруппы факторгруппа абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.
Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства -квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы . Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если - квазинормальная подгруппа конечной группы , то факторгруппа содержится в гиперцентре факторгруппы , где - ядро подгруппы . Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.
Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны с силовскими подгруппами из , и группа разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа и такое ее дополнение , что перестановочна со всеми максимальными подгруппами из . Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы при условии, что , где все подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп.
В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы и называются -перестановочными, где , если в имеется такой элемент , что . Используя понятие -перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных -перестановочных подгрупп для подходящих . Согласно, группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом. Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских -подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.
По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем, а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы.
Оказалось, что группы, у которых все -максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все -максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их -максимальные подгруппы сверхразрешимы.
В последние годы получен ряд новых интересных результатов о -максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего, в которых на языке -максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа группы обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора группы выполняется одно из двух условий или . В работе доказано, что группа разрешима тогда и только тогда, когда в имеется такая -максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от -максимальных подгрупп их силовских подгрупп.
Пусть и - подгруппы группы . Тогда подгруппа называется -перестановочной с , если в найдется такой элемент , что . В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия -перестановочности для -максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой -максимальной подгруппы группы , имеющей непримарный индекс, в найдется такая нильпотентная подгруппа , что и -перестановочна со всеми подгруппами из .
Пусть - набор всех -максимальных подгрупп группы .
Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из , существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа разрешима, если любая подгруппа из перестановочна со всеми подгруппами из для всех , где . В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.
2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами
Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.
[2.1]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа метанильпотентна.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа метанильпотентна.
Рассмотрим факторгруппу . Пусть - произвольная максимальная в подгруппа и - произвольная -максимальная подгруппа. Тогда максимальна в и -максимальна в , а значит, по условию подгруппа -перестановочна с подгруппой . Но тогда, согласно лемме, подгруппа -перестановочна с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но и поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).
(2) - разрешимая группа.
Если в группе существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе все -максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы