Свойства операции умножения матриц.

Лекция 5.

Линейная алгебра.

Матричное исчисление.

Определение. Матрицей размера , где число строк, число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются , где номер строки, а номер столбца.

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк , то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

называется единичной матрицей.

Определение. Если , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц и является матрица C, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Пример. Даны матрицы ; , найти .

, .

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц и называется матрица , элементы которой вычисляются следующим образом:

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй: .

Свойства операции умножения матриц.

1) Умножение матриц не коммутативно, т.е. даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

где нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения и , то определены и , и выполняется равенство:

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения и , то соответственно:

4) Если произведение определено, то для любого числа верно соотношение:

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

где индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц

Понятие определителя матрицы будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу называют транспонированной матрицей , а переход от к транспонированием, если элементы каждой строки матрицы записать в том же порядке в столбцы матрицы .

; ;