Метод Эйлера – Коши (уточненный метод Эйлера)

Брянский колледж экономики, статистики и информатики

 

УТВЕРЖДАЮ:

Заместитель директора по УМР

____________Т.Н. Кузина

«____» _______________

 

 

 

ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №8

«Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений»

По предмету «Численные методы» для студентов специальности 230105

«Программное обеспечение ВТ и автоматизированных систем»

 

 

Инструкция составлена преподавателем Ноздрачевой Н.Л.

 

Согласовано на заседании цикловой комиссии математики, информатики и программирования

Протокол заседания № ___ от ____________ 200 г.

Председатель комиссии _________ Н.К. Минина

 

Брянск

 

Содержание

 

 

1. Цель работы.

2. Приборы и оборудование.

3. Общие теоретические сведения.

4. Задание.

5. Порядок выполнения работы.

6. Отчет о выполненной работе.

7. Контрольные вопросы.

8. Литература.

1. Цель работы:

 

1.1. Закрепить знание основных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.2. Разработать программу решения обыкновенных дифференциальных уравнений методами:

• методом Эйлера;
• методом Эйлера с двойным счетом;
• методом Эйлера – Коши с двойным счетом;
• методом Рунге – Кутта.

 

1.3. Найти решения обыкновенных дифференциальных уравнений различными методами.

1.4. Сравнить результаты, полученные различными методами.

1.5. Закрепить умения и навыки работы с программой и основными компонентами в среде программирования Delphi.

 

2. Приборы и оборудование:

2.1. ПК, система программирования Delphi.

 

 

Общие теоретические сведения

Постановка задачи

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида Решить такое уравнение численным методом это значит для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя функции найти такие значения что где и

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргумента и начального условия

 

Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием Требуется найти решения данного уравнения на

Разобьём отрезок на n равных частей. Получили последовательность чисел . Шаг или . Проинтегрируем данное дифференциальное уравнение по . Получим:

 

Так как отрезки достаточно малы, то подынтегральную функцию можно принять постоянной.Значит: .

Отсюда получаем формулу Эйлера:

 

Таким образом, если известна функция , начальное условие , шаг h и отрезок , то по этой формуле можно найти все решения дифференциального уравнения на данном отрезке.

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага возрастает. Поэтому он применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу этого метода, являются исходными для ниже следующих методов.

 

Метод Эйлера – Коши (уточненный метод Эйлера)

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Один из таких методов это метод Эйлера – Коши. В этом методе сначала вычисляется вспомогательное значение по формуле:

 

 

А затем вычисляется само значение по формуле с использованием ранее найденного значения :

 

3.4. Метод Рунге – Кутта

Это один из методов повышенной точности.