Найти: поперечное сечение и определить номер двутавровой балки.

Расчётно-графическая работа

 

По дисциплине:

Прикладная механика.

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

 

 

 

Тема: Построение эпюр перерезывающих сил, изгибающих моментов и выбор сечений балок.

Вариант 13.

 

 

Выполнил: студент ____________________ // ^{(подпись) (Ф.И.О.)}

 

 

ПРОВЕРИЛ: доцент //

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата: _____________

 

 

Санкт-Петербург

Задание: построить эпюры Q и M и найти поперечное сечение для балки при q₁=5 кH/м, q₂=10 кH/м, P₁=5 кH, кHм, кHм, [ ]_дер=10 МПа = 100 кг/ .

Рисунок № 16

Задача № 1

Поскольку опора представляет собой защемление (заделку), то реакции этой опоры () можно не определять. Они получаются автоматически при построении эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Будем рассматривать сечения по длине балки – СПРАВА, (для Q(x) - три участка и для M(x) - три участка).

P1

MА

 

3 4 3

 

 

Эпюра Q(y)

Участок DC; 0 £ x₁ £ 3;

Q(x₁) = -P₁ - уравнение горизонтальной прямой, не зависит от x_1.

x1=0	Qx1 = -P1 = -5 кН
x1=3	Qx1 = -P1 = -5 кН

 

Участок BC; 3 £ x₂ £ 7;

Q(x₂) = -P₁ + q₁·(x₂ -3) - уравнение наклонной прямой, т.к. x₂ стоит в 1-ой степени.

x2=3	Qx2 = -5 кН
x2=7	Qx2 = 15 кН

 

Участок AB; 7 £ x₃ £ 10;

Q(x₃) = -P₁ + q₁·4 - уравнение горизонтальной прямой, не зависит от x₃.

x3=7	Qx3 = 15 кН
x3=10	Qx3 = 15 кН

Эпюра M(z)

Участок CD; 0 £ x₁ £ 3;

M(x₁) = P₁· x₁ - уравнение наклонной прямой, т.к. x₁ стоит в первой степени.

x1=0	M(x1) = 0 кН·м
x1=3	M(x1) = 15 кН·м

 

Участок BC; 3 £ x₂ £ 7;

M(x₂) = P₁· x₂ - q₁ · (x₂ – 3)²/2 + M₁ - уравнение параболы, т.к. x₂ стоит во второй степени.

x2=3	M(x2) = 15 - 5 · (3 – 3)2/2 + 15 = 30 кН·м
x2=7	M(x2) = 35 - 5 · (7 – 3)2/2 + 15 = 35 - 40 + 15 = 10кН·м

Точка перегиба:

Q^II = 0;

-P₁ + q₁·(x₂ -3) = 0;

-5 + 5(x₂ – 3) = 0;

-20 = - 5x₂;

x₂ = 4 (м).

M^II = 5· 4 - 5 · (4 – 3)²/2 + 15 = 20 - 2,5 +15 = 32,5 кН·м.

Участок АB; 7 £ x₃ £ 10;

M(x₃) = P₁· x₃ - q₁ · 4(x₃ – 5) + M₁ - M₂ - уравнение наклонной прямой, т.к. x₃ стоит в первой степени.

x3=7	M(x3) = -10 кН·м
x3=10	M(x3) = -55 кН·м

Проверка:

åY=0; Y_A+ P₁ – q₁·4 = 0, Y_A + 5 - 20 = 0, Y_A= 15 кН.

åM_A=0; M_A+ P₁·10 – q₁·4·5 + M₁ – M₂ = 0;

M_A+ 50 - 100 + 15 - 20 = 0; M_A = 55 кН·м.

Условие прочности:

; ;

Максимальный изгибающий момент с эпюры M(X)

Момент сопротивления для круглого сечения:

Задача № 2

Дано: q₁= 5 кН/м, q₂=10 кН/м, P₁ = 5 кН; M₁ = 15 кНм, [s]_ст=160 МПа = 1600 кг/см²,

Найти: b, h.

Поскольку опора представляет собой балку, подпертую с левого конца шарнирно-неподвижной опорой, а с правого конца шарнирно-подвижной опорой, это дает нам только две неизвестные реакции: и .

Будем рассматривать сечения по длине балки – СЛЕВА, (для Q(x) - два участка и для M(x) - два участка).

 

22,75   17,75

RA

b

M1

 

1) Определяем неизвестные реакции опор, составляя уравнения статики:

åМ_А= 0;

– P₁· 5 + R_C· 10 - q₁· 5· 7,5 + q₂· 5· 2,5 + M₁ = 0;

R_C = (P₁· 5 + q₁· 5· 7,5 - q₂· 5· 2,5 - M₁ )/10;

R_С = (5 · 5 + 5· 5· 7,5 - 10· 5· 2,5 - 15)/10 = 7,25 кН.

 

åМ_С = 0;

P₁· 5 + R_А· 10 – q₂· 5· 7,5 + q₁· 5· 2,5 + M₁ = 0;

R_А = (-P₁· 5 - q₁· 5· 2,5 + q₂· 5· 7,5 - M₁ )/10;

R_А = (-5 · 5 - 5· 5· 2,5 + 10· 5· 7,5 - 15)/10 = 27,25 кН.

Проверка:

åY=0;

-R_А – P₁ + q₂·5 – q₁·5 + R_C = 0;

-27,25 – 5 +10·5 - 5·5 + 7,25 = 0; 0=0; Реакции опор определены правильно.

2) Построение эпюры поперечных сил:

Участок AВ (слева): 0£x₁£5;

Q(x₁) = -R_A + q₂· x₁ - наклонная прямая, т.к. x₁ стоит в первой степени.

x1=0	Q(x1)= RA= -27,25 кН
x1=5	Q(x1)= -27,5 + 10· 5 = 22,75 кН

 

Участок СВ (справа): 5£x₂£10;

Q(x₂) = -R_A + q₂· 5 – P₁ - q₁·(x₂ – 5) - прямая, т.к. x₂ стоит в первой степени.

x2=5	Q(x2) = -27,25+50-5=17,75 кН.
x2=10	Q(x2) = -27,25+50-5-25= -7,25 кН.

В точке приложения сосредоточенной силы Р₁=5 кH, на эпюре Q(x) будет наблюдаться скачок, равный величине этой силы.

 

3) Построение эпюры изгибающих моментов:

Участок AB (слева): 0£x₁£5;

M(x₁) = -R_A· x₁ + q₂· x₁· x₁ / 2 - уравнение параболы.

x1=0	M(x1) = 0 кН·м
x1=5	M(x1) = -27,25 · 5 + 125 = -11,25 кН·м

Точка перегиба:

Q^I = 0;

-R_A + q₂· x₁ = 0;

x₁ = R_A/q₂ = 0;

x₁ = 27,25/10=2,725 (м).

M^I = -R_A· 2,725 + q₂· (2,725)²/ 2 = -74,25625 + 37,128125 = -37,13.

 

Участок ВС (справа): 5£x₂£10;

M(x₂) = -R_A· x₂ + q₂· 5· (x₂ – 2,5) – P₁· (x₂-5) – q₁· (x₂-5)² / 2

x2=5	M(x2) = -27,25·5+10·5·2,5=-11,25 кН·м
x2=10	M(x2) = -27,25·10+10·5·7,5-5·5-5·5·5/2=15 кН·м

Точка перегиба:

Q^II = 0;

-R_A + q₂· 5 – P₁ - q₁·(x₂ – 5) = 0;

-27,25 + 50 - 5 - 5x₂ + 25 = 0;

x₂ = 8,55 (м).

M^II = -27,25 · 8,55 + 10 · 5· (8,55 – 2,5) – 5 · (8,55-5) – 5· (8,55-5)² / 2 = 51,7625 – 31,50625 = 20,25625 20,26 (кНм).

В точке приложения сосредоточенного момента М₁ = 15 кН·м на эпюре М(x) будет наблюдаться скачок, равный величине этого момента.

 

4) Определение поперечного сечения балки:

Условие прочности:

;

;

Максимальный изгибающий момент с эпюры M(X):

;

; ; h=1,5b;

Высота сечения:

Сечение балки: (9х13) см.

 

Задача № 3

Дано: q₁= 5 кН/м, P₁ = 5 кН; M₁ = 15 кНм, [s]_ст=160 МПа = 1600 кг/см².

Найти: поперечное сечение и определить номер двутавровой балки.

 

 

 

4,375   -0,625 -20,625 42,5

24,375

O

O

O

O

Эпюра M

Эпюра Q

 

1) Определяем неизвестные реакции опор, составляя уравнения статики:

Проверка:

Величины реакций опор определены правильно.

 

2) Построение эпюры поперечных сил:

Будем рассматривать сечения по длине балки – СЛЕВА, (для Q(x) - три участка и для M(x) - три участка).

Участок AB: (слева).

Уравнение для :

- уравнение прямой, лежащей на оси.

 

Участок BC: .

Уравнение для :

- уравнение наклонной прямой.

x2=2	Q(x1) = 24,375 кН
x2=6	Q(x1) = 24,375 - 5 4 = 4,375 кН

 

Участок DC (справа).

Уравнение для :

- уравнение наклонной прямой.

x3=6	Q(x3) = 24,375-5-20= -0,625 кН
x3=10	Q(x3) = 24,375-5-20-20= -20,625 кН

 

В точке приложения силы =5 кH, на эпюре Q(x) будет наблюдаться скачок, равный величине этой силы.

 

3) Построение эпюры изгибающих моментов:

Участок AB: 0£x₁£2

Уравнение для :

- уравнение горизонтальной прямой.

x1=0	M(x1) = -15 кНм
x1=2	M(x1) = -15 кНм

 

Участок BC: 2£x₂£6

Уравнение для :

- уравнение параболы.

x2=2	M(x2) = -15 кНм
x2=6	M(x2) = -15+24,375 4-5 42/2 = 42,5 кНм

 

Участок DC: 6£x₃£10

Уравнение для :

- уравнение параболы.

x3=6	M(x3) = -15 + 24,375 4 - 5 4 2 = 42,5 кНм
x3=10	M(x3) = -15 + 24,375 8 - 5 4 6 - 5 4 - 5 42/2 = 0 кНм

4) Определение поперечного сечения балки:

Условие прочности:

;

Максимальный изгибающий момент с эпюры M(X):

;

;

По сортаменту стали выбираем двутавр № 22а (W = 254 см³);

МПа;

Определяем величину перенапряжения в балке:

160 - 100%

167,3 - Х

Х = %.

Перенапряжение в двутавре составляет 4,6 %, что допустимо:

%.

Выбранный двутавр № 22а удовлетворяет условиям прочности.