Схема вычисления производной функции

Б класс. Алгебра и начала математического анализа.

Дата: 16.11.21

Тема урока:Производная.

Посмотрите видео по ссылке: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4923/main/200984/

 

Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

f(x1)-f(x0)=Δy, значит,

Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)

Нельзя истолковывать термин "приращение" как "прирост".

Примеры и разбор решения заданий записать в тетради.

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1

Решение:

Δx= x1−x0=2,1-2=0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41

Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

Пример 3.

Найдем приращение Δf функции в точке x0,если приращение аргумента равно x0.

Решение:

по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.

Итак, определение производной:

Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

f^′(𝑥) = .

 

Обозначается f^′(х)или df/dx, где df – дифференциал функции,

dx - дифференциаларгумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке х_о, то ее называют дифференцируемой в точке х_о. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной.

Механическая задача.

Итальянский ученый Г. Галилей, изучая свободное падение тел, экспериментальным путем определил зависимость пути S, пройденного телом за время t: S = gt²/2, где g – ускорение свободного падения. При свободном падении скорость тела v растет, движение неравномерное. Как найти скорость тела в любой момент времени, т.е. мгновенную скорость v(t)? Мы знаем, что при равномерном движении v=S/t. При неравномерном движении по этой формуле находится средняя скорость на всем пути: v_ср=∆S/∆t. Рассмотрим два момента времени: t и t+∆t, причем ∆t – малый промежуток времени. Тогда за этот промежуток времени тело пройдет путь ∆S=S(t+∆t) – S(t) и v_ср=∆S/∆t. Если ∆tà0, то v_срàv(t), значит. = v(t), v(t)

Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

v = S^′ (t)

Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆tà0, то

а = Итак,задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции𝒚=f(𝑥).

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

 

 

Прямая АВ – секущая,ee уравнениеy = k_секх +b, гдеk_сек – угловой коэффициент секущей,

k_сек =∆y/∆x = tgα_сек, где α_сек– угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = k_кас, причемk_кас = tgα, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый отположительного направления оси Ох.

Значит, k_кас = tgα =

 

Вывод.Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:

k_кас=tgα = f^′(𝑥)

 

Схема вычисления производной функции

1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

2. Разделить приращение функции на приращение аргумента:

3. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Вычислить производную функции y=x²

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²

2.

3.

Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 5.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

.

Ответ: _.

Теорема 1. Для того, чтобы функция f (x) была дифференцируема в точке x ₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

Выполнить № 783.

Домашнее задание: Изучить п. 44, стр. 229 – 234. Выполнить № 778, 780.