1. Упростить выражение 
.
Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего перейти к арифметике ‑ слишком большие числа. Используем, где возможно, расчленение факториалов:
; 
;
. Следовательно, 
.
2. Упростить выражение 
Напомним, что 
; 
и 
, тогда
3..При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?
Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти цифр: 0, 1,..., 9. Так как телефонные номера обычно не начинаются с 0, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти различных цифр по 7. Очевидно, что это ‑ размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т.е.
номеров.
Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь ‑ не прав.
4. Сколькими способами семь разных учебников можно поставить на полке в один ряд?
Так как порядок учебников по условию ‑ значения не имеет, то имеем задачу о числе перестановок семи разных книг. Следовательно, 
способов.
5. В штате мебельного магазина имеется пять грузчиков. Сколькими способами можно сформировать бригаду из двух грузчиков для доставки гарнитура к заказчику?
Поскольку не имеет значения, какой грузчик будет первым, а какой ‑ вторым, т.е. необходим выбор двух разных грузчиков из пяти возможных, то это ‑ задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно, 
способов.
6. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?
Данная задача ‑ о числе выборок из 16 по 2. Таким образом,
игр.
7. Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефонном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. Насколько уменьшится перебор всех возможных номеров?
Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся. Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи, то есть с повторениями. Решение: 
(повт.) = 47 =16384 номера. Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в 10 раз меньше, чем в примере 3.
8. Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре красные папки?
Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет, то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем случай перестановок с повторениями. Следовательно, 
способами.
9. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао», чтобы получились все возможные различные наборы букв?
В заданном слове ‑ 5 букв, причем «к» и «а» повторяются по два раза, а «о» встречается один раз. Таким образом, 
способов.
Вопросы для самоконтроля:
1. Правило произведения.
2. Правило суммы.
3. Факториал и его свойства.
4. Размещения.
5. Размещения с повторениями.
6. Перестановки.
7. Перестановки с повторениями.
8. Сочетания и их свойства.
9. Сочетания с повторениями.
Тренировочные задачи
1. Вычислить 
Ответ: 1020
2. С помощью правила симметрии вычислить: 
.
Ответ: 26905
3. В учебной группе 12 студентов. Сколькими способами их можно разбить на бригады по 5 человек?
Ответ: 792
4. В оперативной группе имеется 14 солдат и 4 офицера. Сколькими способами можно назначить наряд, состоящий из трех солдат и одного офицера?
Ответ: 2188
5. Сколькими способами можно составить шестизначное число, в состав которого входят две двойки и три шестерки?
Ответ: 60
6. Сколькими способами можно переставить буквы слове «каскад», чтобы получились все возможные различные наборы букв?
Ответ: 180