Рекуррентным соотношением, рекуррентным уравнением или рекуррентной формулой называется соотношение вида an+k = F(n, an,an+1,...,an+k-1), которое позволяет вычислять все члены последовательности а0,а1,а2, …, если заданы её первые k членов.
П р и м е р 5.6.1. 1. Формула аn+1 = аn + d задает арифметическую прогрессию.
2. Формула аn+1 = q an определяет геометрическую прогрессию.
3. Формула аn+2 = аn+1 + аn задает последовательность чисел Фибоначчи.
В случае, когда рекуррентное соотношение линейно и однородно, т.е. выполняется соотношение вида
аn+k + p1an+k-1 +... + pkan = 0 (5.4)
(p = const), последовательность a0,a1,a2,... называется возвратной. Многочлен
(5.5)
называется характеристическим для возвратной последовательности {аn}. Корни многочлена Ра(х) называются характеристическими.
Множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим решением.
Описание общего решения соотношения (5.4) имеет аналогию с описанием решения обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Теорема 5.6.1. 1. Пусть - корень характеристического многочлена (5.5). Тогда последовательность , где с – произвольная константа, удовлетворяет соотношению (5.4).
2. Если - простые корни характеристического многочлена (5.5), то общее решение рекуррентного соотношения (5.4) имеет вид , где с1,с2,…,сk – произвольные константы.
3. Если - корень кратности ri (i = 1,…,s) характеристического многочлена (5.5), то общее решение рекуррентного соотношения (5.4) имеет вид , где сij – произвольные константы.
Зная общее решение рекуррентного уравнения (5.4), по начальным условиям а0,а1,…,аk можно найти неопределенные постоянные сij и тем самым получить решение уравнения (5.4) с данными начальными условиями.
П р и м е р 5.6.2. Найти последовательность {аn}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению и начальным условиям а1=10, а2=16.
Корнями характеристического многочлена Ра(х) = х2 - 4х + 3 являются числа х1 = 1 и х2 = 3. Следовательно, по теореме 5.6.1. общее решение имеет вид аn = с1 + с23n. Используя начальные условия, получаем систему
с1 + 3с2 = 10,
с1 + 9с2 = 16,
решая которую, находим с1 = 7 и с2 = 1. Таким образом, аn = 7 + 3n.
Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное уравнение
(5.6)
Пусть {bn} – общее решение однородного уравнения (5.4), а {сn} – частное (конкретное) решение неоднородного уравнения (5.6). Тогда последовательность {bn + сn} образует общее решение уравнения (5.6), и тем самым справедлива.
Теорема 5.6.2. Общее решение неоднородного линейного рекуррентного уравнения представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного линейного рекуррентного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.
Таким образом, в силу теоремы 5.6.1. задача нахождения общего решения рекуррентного уравнения (5.6) сводится к нахождению некоторого частного решения.
В отдельных случаях имеются общие рецепты нахождения частного решения.
Если (где не является характеристическим корнем), то, подставляя в (5.6), получаем и отсюда т.е. частное решение можно задать формулой
Пусть f(n) – многочлен степени r от переменной n, и число 1 не является характеристическим корнем. Тогда и частное решение следует искать в виде Подставляя многочлены в формулу (5.6), получаем
Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем соотношения для чисел di, позволяющих эти числа определить
П р и м е р 5.6.3. Найти решение уравнения
с начальным условием
Рассмотрим характеристический многочлен Ра(х) = х + 2. Так как Ра(х) = 3 0 и правая часть f(n) уравнения (5.6) равна n + 1, то частное решение будем искать в виде Подставляя сn в уравнение (5.7), получаем = . Приравнивая коэффициенты в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему
откуда находим Таким образом, частное решение уравнения (5.7) имеет вид По теореме 5.6.1. общее решение однородного уравнения задается формулой и по теореме 5.6.2. получаем общее решение уравнения (5.7): Из начального условия находим т.е. Таким образом,
Задачи и упражнения
1. Группе из пяти сотрудников выделено три путевки. Сколько существует способов распределения путевок, если:
а) все путевки различны; б) все путевки одинаковы?
2. Крокодил имеет 68 зубов. Доказать, что среди 1617 крокодилов может не оказаться двух с одним и тем же набором зубов.
3. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя цифры 0,1 и 2?
4. Алфавит Х состоит из двух символов. Сколько существует слов алфавита Х, длины которых не превосходят 4?
5. Автомобильные номера данного региона состоят из трех цифр(всего 10 цифр) и трех букв алфавита ={A, B, C, D, E, H, K, M, O, P, T, X, Y}. Сколько автомобилей может быть занумеровано различными номерами?
6. Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколько существует способов выделения одного сержанта и трех солдат для патрулирования?
7. Сколько различных перестановок образуется из следующих слов:
а) зебра; б)баран; в)водород; г)абракадабра?
8. Сколько положительных чисел от 20 до 1000 делятся ровно на одно из чисел 7,11 и 13?
9. Найти решение уравнения с начальными условиями
10. Найти общее решение уравнения