Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам.
Решая задачу об определении высоты Солнца S по тени b вертикально стоящего шеста a (см чертеж), сирийский астроном ал-Баттани (Хв.)пришел к выводу, что острый угол ϕ в прямоугольном треугольнике определяется отношением одного катета к другому, и вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1°. Точнее говоря, он вычислил длину тени b=a⋅ 
=a⋅ctgϕ шеста определенной длины (а=12) для ϕ=1°,2°,3°……
Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998), составил аналогичную «таблицу тангенсов», т.е. вычислил длину тени b=a⋅ =a⋅tgϕ, отбрасываемой горизонтальным шестом определенной длины (а=60) на вертикальную стену (см. чертеж).
Следует отметить, что сами термины «тангенс» (в буквальном переводе- «касающийся») и «котангенс» произошли из латинского языка и появились в Европе значительно позднее (XVI-XVIIвв.). Среднеазиатские же ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс- «первой тенью», тангенс- «второй тенью».
Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил (словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10′.
В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.
Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).
Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге «О треугольниках разных родов», написанной Иоганном Мюллером, более известным в математике под именем Региомонтана(1436-1476). Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001. При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равным 10 000 000 или 10 000, т.е. выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.
Английский ученый XIV века Брадвардин (1290-1349) первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».
На пороге XVIIв. В развитии тригонометрии намечается новое направление- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.
Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций.
В первой половине XIXв. французский ученый Ж.Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.
Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера (1707-1783), он придал всей тригонометрии современный вид.
В своем труде «Введение в анализ» (1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.
Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.
Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Н.И.Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и других.
«Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций…Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».
В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.
- Практическое применение тригонометрии
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография, геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
Приведу несколько примеров из практики, например: тригонометрия в медицине и биологии.
Модель биоритмов
Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
Формула сердца
В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.