Регрессионный анализ
Задача
Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Необходимо оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время доставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (табл.).
| Расстояние, км | 3,5 | 2,4 | 4,9 | 4,2 | 3,0 | 1,3 | 1,0 | 3,0 | 1,5 | 4,1 |
| Время, мин |
Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и потраченным временем, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз поездки на 2 км.
Решение
Для расчёта стоимости услуг, зависящих от затрачиваемого на поставку времени, вычислим суммы (рис. 1):
| t | y(t) |
| ||||||||||||
|
|
| 
| 
|
| 
| ||||||||
| 3,50 | 16,00 | 12,25 | 56,00 | 256,00 | 15,22 | 2,63 | ||||||||
| 2,40 | 13,00 | 5,76 | 31,20 | 169,00 | 12,30 | 1,70 | ||||||||
| 4,90 | 19,00 | 24,01 | 93,10 | 361,00 | 18,95 | 28,58 | ||||||||
| 4,20 | 18,00 | 17,64 | 75,60 | 324,00 | 17,08 | 12,14 | ||||||||
| 3,00 | 12,00 | 9,00 | 36,00 | 144,00 | 13,89 | 0,09 | ||||||||
| 1,30 | 11,00 | 1,69 | 14,30 | 121,00 | 9,37 | 17,88 | ||||||||
| 1,00 | 8,00 | 1,00 | 8,00 | 64,00 | 8,57 | 25,27 | ||||||||
| 3,00 | 14,00 | 9,00 | 42,00 | 196,00 | 13,89 | 0,09 | ||||||||
| 1,50 | 9,00 | 2,25 | 13,50 | 81,00 | 9,90 | 13,67 | ||||||||
| 4,10 | 16,00 | 16,81 | 65,60 | 256,00 | 16,82 | 10,36 | ||||||||
| сумма |
|
|
|
|
|
|
| |||||||
| 13,60 | ||||||||||||||
| a1 = | 2,66 | |||||||||||||
| a0 = | 5,91 | |||||||||||||
| r2 = | 0,92 | 91,83% | ||||||||||||
| 8,17 |
расстояние.
время
99,4
435,3
1 972,0
136,0
112,4
Рис.1 - График исходных данных
Вывод: существует сильная связь между исходными данными.
Задача
В таблице приведены данные по объемам собранного урожая овощей из тепличного хозяйства за последний год (по месяцам), а также данные о затраченной электроэнергии, воде и удобрениях.
| Месяц | Объем собранного урожая | Факторы, влияющие на урожай | ||
| Электроэнергия, кВт | Удобрения, тонн | Вода, литр | ||
| t | y | x 1 | x 2 | x 3 |
| январь | ||||
| февраль | ||||
| март | ||||
| апрель | ||||
| май | ||||
| июнь | ||||
| июль | 122,5 | |||
| август | ||||
| сентябрь | ||||
| октябрь | ||||
| ноябрь | ||||
| декабрь |
Необходимо определитьстепень влияния каждого отдельного фактора на результат (объем урожая). Для этого необходимо построить графики исходных данных, построить уравнения регрессии, проанализировать силу регрессионной связи (по коэффициенту детерминации) и сделать прогноз урожая по двум-трем значениям (в пределах прогноза исходных данных).
Решение
Строим графики исходных данных (рис. 2, 3):
Рис. 2 - График зависимости урожая от удобрения
Рис. 3 - График зависимости урожая от воды
Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости:
Численные коэффициенты функции регрессии
| X1i | Yi | X1iІ | X1i Yi | Yi І | Yi p | (Yi p -y)І | (Yi -y)І |
| 152,5778 | 151,9747 | 0,0625 | |||||
| 151,4485 | 125,4073 | 5,0625 | |||||
| 144,673 | 19,56251 | 315,0625 | |||||
| 145,8022 | 30,82711 | 14,0625 | |||||
| 133,3803 | 47,19267 | 3,0625 | |||||
| 137,8974 | 5,534888 | 39,0625 | |||||
| 127,734 | 156,6506 | 333,0625 | |||||
| 131,1218 | 83,32442 | 232,5625 | |||||
| 133,3803 | 47,19267 | 264,0625 | |||||
| 135,6388 | 21,26283 | 5,0625 | |||||
| 142,4144 | 4,684729 | 280,5625 | |||||
| 146,9315 | 44,64219 | 430,5625 | |||||
| 738,2566 | 1922,25 | ||||||
| Среднее значение | 140,25 |
Коэффициент детерминации r2=0,384059.
Коэффициент детерминации низкий поэтому модель не адекватна.
Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:
Численные коэффициенты функции регрессии
| X2i | Yi | X2iІ | X2i Yi | Yi І | Yi p | (Yi p -y)І | (Yi -y)І |
| 137,5802 | 7,127725 | 0,0625 | |||||
| 138,5088 | 3,031641 | 5,0625 | |||||
| 155,224 | 224,2202 | 315,0625 | |||||
| 141,2947 | 1,091391 | 14,0625 | |||||
| 143,1519 | 8,421225 | 3,0625 | |||||
| 135,723 | 20,49389 | 39,0625 | |||||
| 122,5 | 15006,25 | 123,1866 | 291,1588 | 333,0625 | |||
| 128,294 | 142,9452 | 232,5625 | |||||
| 119,9365 | 412,64 | 264,0625 | |||||
| 141,2947 | 1,091391 | 5,0625 | |||||
| 157,0812 | 283,29 | 280,5625 | |||||
| 161,7243 | 461,1463 | 430,5625 | |||||
| 1690,5 | 240302,3 | 1856,658 | 1922,25 | ||||
| Среднее значение | 140,25 |
Коэффициенты регрессии — сдвиг а0 и наклон а1прямой у:
| a0= | 9,430782 |
| a1= | 0,928619 |
Коэффициент детерминации r2=0,965877.
Коэффициент детерминации высокий, поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.
Прогноз на три шага вперед y13=120.9, y14=154.3, y15=142.2.
Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:
Численные коэффициенты функции регрессии
| X3i | Yi | X3iІ | X3i Yi | Yi І | Yi p | (Yi p -y)І | (Yi -y)І |
| 135,8979 | 18,94079 | 0,0625 | |||||
| 131,1502 | 82,80727 | 5,0625 | |||||
| 162,8018 | 508,5838 | 315,0625 | |||||
| 146,1847 | 35,22048 | 14,0625 | |||||
| 145,3934 | 26,4545 | 3,0625 | |||||
| 140,6456 | 0,156535 | 39,0625 | |||||
| 134,3153 | 35,22048 | 333,0625 | |||||
| 136,6892 | 12,67937 | 232,5625 | |||||
| 128,7763 | 131,6463 | 264,0625 | |||||
| 129,5676 | 114,1144 | 5,0625 | |||||
| 143,0195 | 7,670238 | 280,5625 | |||||
| 148,5586 | 69,03215 | 430,5625 | |||||
| 1042,526 | 1922,25 | ||||||
| Среднее значение | 140,25 |
Коэффициенты регрессии — сдвиг а0 и наклон а1прямой у:
| a0= | 29,86486 |
| a1= | 0,791291 |
Коэффициент детерминации r2=0,542347.
Коэффициент детерминации низкий, поэтому модель не адекватна.
Задача
Санаторный комплекс ежегодно заключает с пекарней договор на выпечку хлеба сорта С1. Чтобы полностью использовать свои производственные мощности пекарня также выпекает хлеб сорта С2, который пускает в свободную продажу. В таблице приведены данные выпуска хлеба (тыс. шт.) пекарней за последний год
| Месяц | ||||||||||||
| С1 | 2,3 | 1,5 | 0,5 | 3,5 | 4,5 | 2,5 | 1,5 | |||||
| С2 | 6,5 | 8,1 | 8,7 | 0,2 | 7,6 | 8,7 | 8,4 |
Проанализируйте график исходных данных и постройте регрессионную модель функции производственных возможностей пекарни. Проверьте удовлетворительность модели и сделайте прогноз выпуска хлеба С2, если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С1 3 тысячи булок.
Решение
Рис. 4 - График исходных данных
Суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии и коэффициента детерминации вычислим с помощью таблицы, учитывая данные зависимости объема собранного урожая от количества электроэнергии.
| x | y | x2 | xy | yp | (yp-ycp)2 | (y-ycp)2 |
| 8.981453 | 7.370065 | 7.471111 | ||||
| 2.3 | 6.5 | 5.29 | 14.95 | 6.533438 | 0.071167 | 0.054444 |
| 1.5 | 8.1 | 2.25 | 12.15 | 8.039909 | 3.144387 | 3.361111 |
| 0.5 | 8.7 | 0.25 | 4.35 | 9.922997 | 13.36875 | 5.921111 |
| 3.332187 | 8.611173 | 5.137778 | ||||
| 0.2 | 1.449098 | 23.20897 | 36.80444 | |||
| 7.6 | 15.2 | 7.098364 | 0.691721 | 1.777778 | ||
| 3.5 | 12.25 | 17.5 | 4.273731 | 3.971792 | 1.604444 | |
| 8.7 | 8.7 | 8.981453 | 7.370065 | 5.921111 | ||
| 4.5 | 20.25 | 2.390642 | 15.02356 | 18.20444 | ||
| 2.5 | 6.25 | 17.5 | 6.15682 | 0.012066 | 0.537778 | |
| 1.5 | 8.4 | 2.25 | 12.6 | 8.039909 | 3.144387 | 4.551111 |
| å=29.3 | å=75.2 | å=95.79 | å=137.95 | å=85.98811 | å=91.34667 |
Находим коэффициенты регрессии — сдвиг а0 и наклон а1прямой у:
| a0= | 10,86454 |
| a1= | -1,88309 |
Коэффициент детерминации r2=0,941338.
Коэффициент детерминации высокий поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.
Если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С1 3 тысячи булок, то прогноз С2 =-1,88309*3000+10,86454=5215,7.
Транспортная задача
Задача
Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально.
Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно.
Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в таблице
Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.
| D | E | |
| А | ||
| В | ||
| С |
Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.
Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:
;
Получаем:
| Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт | ||||
| D | Е | V | Издержки | |
| А | ||||
| В | ||||
| С | ||||
| Спрос | ||||
| Продукция | ||||
| D | Е | Сумма | ||
| А | ||||
| В | ||||
| С | ||||
| Y | ||||
| Сумма |
Задача
Постройте транспортную модель для исходных данных задачи 2.1 при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до 1900 автомобилей, а выпуск на заводе В увеличился до 1500 автомобилей за квартал.
Решение
Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:
;
Получаем:
| Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт | |||||
| D | Е | F | V | Издержки | |
| А | |||||
| В | |||||
| С | |||||
| Спрос | |||||
| Продукция | |||||
| D | Е | F | Сумма | ||
| А | |||||
| В | |||||
| С | |||||
| Сумма |
Задача
Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВт×ч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 24 миллионов кВт×ч. Цены за миллион кВт-ч в данных городах приведены в табл. 4.4.
Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч
| Города | ||||
| 1 | 2 | 3 | ||
| Станция | 1 | |||
| 2 | ||||
| 3 |
В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети по цене 1000 за 1 миллион кВт-ч. Но третий город не может подключиться к альтернативной электросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели.
Решение
Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:
;
Получаем:
| Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч | ||||||
| Города | Издержки | |||||
| Мощность | ||||||
| Станция | ||||||
| Потребление | ||||||
| Города | ||||||
| Сумма | ||||||
| Станция | ||||||
| Сумма |
Задача
Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:
Решение
Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется
Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл.
Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла
Пункты
отправления, 
| Пункты потребления, 
| Запасы, ед. продукции | |||
| 
| 
| 
| ||
| 210/85/0 | ||||
| 170/165/35/0 | ||||
| 65/0 | ||||
| Потребность, ед. продукции | 125/0 | 90/5/0 | 130/0 | 100/65/0 |
Опорный план 
, найденный методом северо-западного угла
[ед.товара]
Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)
[руб.].
Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента
| Пункты
отправления,
| Пункты потребления,
| Запасы, ед. продукции | |||
|
|
|
|
| ||
|
| 210/80/45/0 | ||||
|
| 170/45/0 | ||||
|
| 65/0 | ||||
| Потребность, ед. продукции | 125/0 | 90/45/0 | 130/0 | 100/35/0 |
Опорный план 
, найденный методом минимального элемента
[ед.товара]
[руб.]
Транспортная таблица с опорным планом Фогеля
|
|
|
|
| 
| Штрафы строк, 
| ||||
|
| 210/110/0 | ||||||||
|
| 170/45/25/0 | ||||||||
|
| 65/0 | – | – | ||||||
| 125/0 | 90/25/0 | 130/20/0 | 100/0 | |||||
Штрафы столбцов, 
| |||||||||
| – | |||||||||
| – | |||||||||
| – | – |
На первом шаге нахождения опорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значений максимальных штрафов транспортной матрицы
Минимальные тарифы в этих столбцах также совпадают
.
Поэтому необходимо сравнить суммарные штрафы 
клеток (2,1) и (3,2)
;
.
Т.к. 
, то выбираем на первом шаге для заполнения клетку (2,1).
Опорный план 
[ед.товара], 
[руб.]
Задача
Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 160, 140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200, 110 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:
Решение
Суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей
 |
Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла
| Пункты отправления,
| Пункты потребления,
| Запасы, ед. продукции | |||
|
|
|
|
| ||
|
| 160/40/0 | ||||
|
| 140/130/0 | ||||
|
| 170/100/0 | ||||
| фиктивный склад | 10/0 | ||||
| Потребность, ед. продукции | 120/0 | 50/10/0 | 200/70/0 | 110/10/0 |
Опорный план , найденный методом северо-западного угла [ед.товара].
Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)
Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента
| Пункты отправления,
| Пункты потребления,
| Запасы, ед. продукции | |||
|
|
|
|
| ||
|
| 160/0 | ||||
|
| 140/30/0 | ||||
|
| 170/120/80/0 | ||||
| фиктивный склад | 10/0 | ||||
| Потребность, ед. продукции | 120/110/0 | 50/0 | 200/40/0 | 110/30/0 |
Опорный план , найденный методом минимального элемента
Транспортная таблица с опорным планом Фогеля
|
|
|
|
|
| Штрафы строк,
| ||||||
|
| 160/50/0 | - | - | - | |||||||
|
| 140/110/0 | ||||||||||
|
| 170/20/0 | - | |||||||||
| фикт. | 10/0 | - | - | - | - | - | |||||
|
| 120/110/0 | 50/30/0 | 200/150/0 | 110/0 | |||||||
| Штрафы столбцов,
| |||||||||||
| - | |||||||||||
| – | |||||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - |
Опорный план , найденный методом Фогеля [ед.товара],
Задача
Некоторая фирма производит автомобили четырех различных марок М 1, М 2, М 3, М 4. Завод в городе А производит только автомобили марок М3, M4, в городе В – только автомобили марок М 1, М 2, M 4, а в городе С – только автомобили марок М 1, М 2. Ежеквартальные объемы выпуска каждого завода и величины спроса в каждом пункте распределения приведены в таблице 1.3. Постройте соответствующую модель экономичных перевозок и определите целевую функцию по двум вариантам:
• каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;
• все виды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифов в клетках, связывающих разные виды продукции.
Объемы производства заводов и спроса пунктов распределения автомобилей, шт/квартал
| Марка автомобиля | ||||
| M 1 | M 2 | M 3 | M 4 | |
| Заводы | ||||
| А | — | — | ||
| В | — | |||
| С | — | — | ||
| Пункты распределения | ||||
| D | ||||
| Е |
Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт
| D | Е | |
| А | ||
| В | ||
| С |
Решение:
Составляем для каждого вида продукции транспортную матрицу:
Транспортная матрица для первого вида продукции:
| D | Е | Объем | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Спрос | |||
| издержки | |||
| D | Е | Сумма | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Сумма |
Транспортная матрица для второго вида продукции:
| D | Е | Объем | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Спрос | |||
| издержки | |||
| D | Е | Сумма | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Сумма |
Транспортная матрица для третьего вида продукции:
| D | Е | Объем | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Спрос | |||
| издержки | |||
| D | Е | Сумма | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Сумма |
Транспортная матрица для четвертого вида продукции:
| D | Е | Объем | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Спрос | |||
| издержки | |||
| D | Е | Сумма | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Сумма |
Целевая функция равна сумме издержек по каждому виду продукции 347000.
Объединяем все виды продукции в одной общей матрице и с помощью «Поиска решений» находим оптимальный план и целевую функцию:
| D1 | E1 | D2 | E2 | D3 | E3 | D4 | E4 | производство | ||
| A3 | ||||||||||
| A4 |
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2019-07-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд Интересно: |