Задача
Объем продажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 40 коп. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Магазин работает 300 дней в году.
Постройте график затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика. Графически определите наиболее выгодный объем заказа.
Решение
Пусть Q - размер заказа; T =300 - продолжительность периода планирования; D =500 - величина спроса за период планирования; К= 10 -издержки одного заказа (стоимость доставки); 
- удельные издержки хранения за период; с =2— цена продукта. Тогда:
Издержки заказа за период планирования: 
;
Издержки хранения за период планирования: 
;
Издержки на закупку товара: 
.
При этом совокупные издержки: 
.
Формула совокупных издержек:
.
Для нахождения наименьшего значения функции С найдем ее производную и прировняем ее к нулю.
Отсюда получаем: 
.
Оптимальное число заказов:
.
Число дней между заказами:
дней.
Так как длина интервала между поставками равна 100 дней, а время доставки – 12 дней, то заказ нужно возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребностей на 12 рабочих дней.
Так как ежедневная потребность равна 500/300=1,67 упаковок супа в день, то заказы должны делаться регулярно при достижении уровня запаса 
пачек супа.
График затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика (рис. 5):
|
|
Рис. 5
Оптимальный размер заказа (точка пересечения графиков издержек заказа и издержек хранения) приблизительно равен 158 пакетов супа.
Величина общих годовых издержек составит примерно 1060 руб.
Задача
На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?
Решение
Для начала определяем сколько производит первый и второй станки за год деталей:
первый станок = 2000*12=24000;
второй станок = 500 * 12 = 6000.
Затем по формулам модели Уилсона находим, оптимальный план, частоту заказов и общие издержки.
Qопт=5656,85
С=2121,32
τ месс=11,31
Задача
Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 руб. Интенсивность производства составляет 120 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты на осуществление заказа равны 15 руб. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 2 коп. в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 26 000 шт. в год.
Предполагая, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие (в месяце 22 рабочих дня).
Подтвердите свое решение графически, для этого на одном рисунке постройте графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий.
Решение
Производство изделий:
Обозначим Q - размер выпускаемой партии; D =26000 шт. - величина спроса в год; 
шт. – величина спроса в день; 
шт. - интенсивность производства; К= 20 руб. –стоимость каждого запуска изделия в производство; 
руб.- издержки хранения за год. Тогда:
шт.
Cовокупные издержки:
руб.
Покупка изделий
Обозначим Q - размер приобретаемой партии; D =26000 шт. - величина спроса в год; К= 15 руб. –стоимость каждой покупки; 
руб.- издержки хранения за год. Тогда:
шт.
Совокупные издержки:
руб.
|
|
Рис. 6 - Графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий
Вывод: выгоднее производить изделия, чем покупать их.
Задача
При строительстве участка автодороги длиной 500 м используют гравий, расход которого составляет 120 кг/м. Сроки строительства составляют 17 дней. Работа идет в одну смену. Расход гравия равномерный. Гравий доставляется грузовыми машинами, емкостью 7 т, в течение 4 часов. Затраты на один рейс грузовика равны 15 руб. Затраты на хранение гравия на месте строительства составляют 1 руб. 10 коп. в сутки за тонну.
Определить: оптимальный объем заказа, количество грузовых машин, используемых для доставки, период поставок, точку заказа, затраты за всю стройку. Постройте график двух последних циклов изменения запаса гравия на месте строительства.
Решение
Пусть Q – оптимальный объем заказа; D = 
т - величина спроса за период строительства; К= 
руб. -издержки одного заказа (здесь 7 - грузоподъемность машины); 
руб.- удельные издержки хранения за период; Т=17 дней – период планирования; 
сут. (принимаем время смены 8 часов). Тогда:
Издержки заказа за период планирования: 
;
Издержки хранения за период планирования: .
Оптимальный размер заказа составит:
или 
, откуда 
т.
Количество грузовых машин равно 
ед.
Период поставок: 
дня.
Точка заказа: 
т.
Затраты на всю стройку составят:
руб.
Так как период поставок равен 4 дня, а время работы равно 17 дней, получим 4 полные поставки и в 16-й день еще одну машину с гравием.
Задача
Пусть затраты на заказ равны 10 руб., затраты на хранение продукции 1 руб. в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара – 2руб. за штуку, а при объеме закупки 15 шт. и более- 1руб.
Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и затраты на управление запасами. Постройте график общих затрат.
Пусть Q - размер заказа; 
- величина потребления за день; К= 10 -издержки одного заказа; h =1-удельные издержки хранения за день; сi — цена продукта при соответствующем размере заказа.
Издержки заказа за период планирования: 
;
Издержки хранения за период планирования: 
;
Издержки на закупку товара: 
.
Совокупные издержки:
.
При размере заказа менее 15 шт формула совокупных издержек запишется в виде:
.
Для нахождения наименьшего значения функции С находим ее производную и прировняем ее к нулю.
.
Аналогично находим при заказе 15 шт. и более:
; 
; 
.
Общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок с выбором наименьшего значения:
| Размер заказа | Менее 15 шт. | 15 шт. и более |
| Цена 1 шт., руб. | ||
| Размер заказа, шт. | ||
| Издержки заказа, руб. | 3,33 | |
| Издержки хранения, руб. | 7,5 | |
| Издержки на закупку товара, руб. | ||
| Общие затраты, руб. | 15,83 |
Выбираем размер заказа, минимизирующий общие годовые издержки. Заказ в размере 15 шт. будет минимизировать общие затраты, оптимальный размер заказа 
шт.
При этом цена покупки составит 
руб., затраты на управление запасами составят 
руб.
График общих
|
|
Рис.7
Задача
Рассмотрим задачу 5.1. Пусть поставщик супа в пакетах предоставляет следующие скидки
| Размер заказа | Цена, руб./шт. |
| 1-199 | |
| 200-499 | 1,96 (2% скидки) |
| 500 и более | 1,92 (4% скидки) |
Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок, предоставляемых поставщиком? Каковы при этом будут размер заказа и общие затраты на управление запасами? Постройте график общих затрат.
Решение
Пусть Q - размер заказа; T =300 - продолжительность периода планирования; D =500 - величина спроса за период планирования; К= 10 -издержки одного заказа; Н =0,4-удельные издержки хранения за период; сi — цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:
Издержки заказа за период планирования: ;
Издержки хранения за период планирования: 
;
Издержки на закупку товара: 
.
Совокупные издержки:
.
Оптимальный заказ:
.
Поэтому для первого уровня цен принимаем 
; для других цен - 
. Рассчитываем общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.
| Размер заказа | 1-199 | 200-499 | 500 и более |
| Цена пакета, руб. | 1,96 | 1,92 | |
| Размер заказа, шт. | |||
| Издержки заказа за год, руб. | 31,65 | 25,0 | |
| Издержки хранения за год, руб. | 31,6 | ||
| Издержки на закупку товара за год, руб. | |||
| Совокупные издержки, руб. | 1063,25 | 1045,0 | 1070,0 |
Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие годовые издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 200 пакетов супа будет минимизировать совокупные издержки, следовательно, оптимальный размер заказа 
пакетов.
При этом совокупные издержки за год составят 
руб.
Рис. 8 - График общих затрат
Задача
Какое количество товара заказывать и по какой цене, каковы затраты при оптимальной организации управления запасами? Известно, что n =240 шт./дн.; С 0= 30 руб.; Сh = 3 руб./шт.дн.; a = 6 руб./шт.; a1 = 5 руб./шт.; a2 =3 руб./шт.; Qp1= 50 шт.; QP2 =500 шт.
Решение
Пусть Q - размер заказа; v =240 шт./дн. - величина спроса за период планирования; С0= 30 руб. -издержки одного заказа; 
руб./шт.дн.-удельные издержки хранения за период; сi — цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:
Издержки заказа за период планирования: 
;
Издержки хранения за период планирования: 
;
Издержки на закупку товара: 
.
Совокупные издержки:
.
Оптимальный заказ:
.
Поэтому для первого уровня цен принимаем 
; для других цен - 
. Далее рассчитаем общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшее значение.
| Размер заказа | 1-49 | 50-499 | 500 и более |
| Цена ед. товара, руб. | |||
| Размер заказа, шт. | |||
| Издержки заказа, руб. | 146,94 | 104,35 | 14,40 |
| Издержки хранения, руб. | 73,50 | 103,50 | 750,00 |
| Издержки на закупку товара, руб. | 1440,00 | 1200,00 | 720,00 |
| Совокупные издержки, руб. | 1660,44 | 1407,85 | 1484,40 |
Выберем тот размер заказа, который минимизирует общие издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере 69 единиц товара будет минимизировать совокупные издержки, следовательно, оптимальный размер заказа 
.
Вывод: совокупные издержки 1407,85 руб.