Приложения двойных интегралов к геометрии
Вычисление объемов тел
ПРИМЕР 1. Вычислить объем прямого бруса, ограниченного сверху параболоидом 
и имеющего основанием квадрат, ограниченный в плоскости 
прямыми x = ±1, y = ±1.
Решение. Прежде всего, делаем чертеж (рис.1.5.1). В данном случае подынтегральной функцией будет 
. Она всюду положительна на указанном квадрате.
Рисунок. 1.5.1
Так как основанием бруса служит прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям Ox и Oy, то пределы интегрирования по обеим переменным постоянны. По формуле
получим:
V = 
= 
= 
=
= 
= 
– 
= 13 
.
Замечание. Задачу вычисления интеграла можно упростить, используя симметричность бруса относительно координатных плоскостей 
и 
, т.е. записав
.
ПРИМЕР 2. Вычислить объем шара, ограниченного сферой 
.
Решение. В силу симметричности данного шара относительно координатных плоскостей, очевидно, достаточно ограничиться вычислением объема его восьмой части, расположенной в первой октанте (рис. 1.5.2). Для иллюстрации возможностей пакета, построение проведем с использованием графических примитивов.
Рисунок. 1.5.2
Подынтегральной функцией будет 
(корень берем с положительным знаком потому, что рассматриваемая часть шара расположена над плоскостью xOy).
Чтобы установить пределы интегрирования, необходимо сначала установить область интегрирования. Она ограничена пересечением плоскости xOy с поверхностью шара. Чтобы получить это пересечение, положим в уравнении поверхности шара z = 0.
Полученная окружность 
и будет контуром области задания функции .
При нашем упрощении задачи областью интегрирования будет часть круга, расположенная в первой четверти плоскости xOy. Взяв постоянные пределы интегрирования по x (0 ≤ x ≤ R), получим пределы по y: 0 – нижний, 
– верхний:
.
Для вычисления внутреннего интеграла сделаем подстановку 
. Тогда 
и
(пока x постоянная!). Следовательно, 
, откуда
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно было воспользоваться и переходом к полярной системе координат.
ПРИМЕР 3. Вычислить объем тела, ограниченного снизу плоскостью xOy, сверху плоскостью 
, с боков цилиндрической поверхностью 
и плоскостью 
.
Решение. Данное тело изображено на рисунке 1.5.3.
Рисунок. 1.5.3
Подынтегральная функция 
. Область интегрирования (D) ограничена прямой 
и параболой 
. При определении пределов интегрирования пользуемся уже известным приемом. Получим 
V = 
= 
=
= 
= 
=
= 
= 
.
ПРИМЕР 4. Оси двух круговых цилиндров с одинаковыми радиусами поперечных сечений пересекаются под прямым углом. Вычислить объем общей части этих цилиндров.
Решение. Обозначим радиус поперечного сечения каждого из цилиндров через r. Выберем прямоугольную систему координат в пространстве таким образом, чтобы оси цилиндров совпадали с осями Oy и Oz. Тогда уравнения цилиндрических поверхностей будут иметь вид: 
– цилиндрическая поверхность с осью симметрии Oy, 
– цилиндрическая поверхность с осью симметрии Oz. На рисунке (1.5.4) отмечена одна восьмая часть тела, получаемого указанным сечением двух цилиндрических тел.
Рисунок. 1.5.4
Подынтегральной функцией будет, очевидно, разрешенное относительно y уравнение поверхности цилиндра с осью симметрии Oy, т.е. 
. Проектируя ее часть, отрезанную второй поверхностью и содержащуюся в первом октанте, получим область интегрирования при вычислении объема выделенной на рисунке части тела. Ею будет часть круга 
, расположенная в первой четверти плоскости xOy. Если по x взять постоянные пределы (
), то по y будут пределами: 0 – нижний предел, а 
– верхний. Тогда
= 
= 
= r 3 – 
= 
.
Следовательно, 
.
ПРИМЕР 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
.
Решение. Поверхность 
есть круговой цилиндр, ось которого параллельна оси Oz, а 
и 
– плоскости, проходящие через ось Oy под разными углами наклона к плоскости xOy. Эти плоскости, пересекая цилиндр, вырезают из него клинообразный слой (рис.1.5.5), объем которого и требуется вычислить.
Рисунок. 1.5.5
Сам слой не является цилиндрическим брусом, и потому его объем не может быть вычислен непосредственно по формуле . Однако его можно рассматривать как разность двух цилиндрических брусов, срезанных сверху плоскостями 
и 
. Пределы изменения для x и y находим из уравнения контура области интегрирования . Здесь удобнее взять постоянные пределы по 
. Тогда по y будут: 0 – нижний предел, 
– верхний предел, и искомая половина объема тела представится в виде:
.
Следовательно, V = 8π.
Вычисление площадей поверхностей
ПРИМЕР 1. Вычислить площадь той части плоскости 
, которая заключена в первом октанте (рис.1.5.6).
Рисунок. 1.5.6
Решение. Имеет место формула 
(*).
Мы имеем: 
и
.
Проекцией данной плоскости на плоскость xOy является треугольник, ограниченный координатными осями Ox, Oy и прямой 
(последняя получается из уравнения данной плоскости при z = 0). Получим:
S = 
= 
= 
= 
= 
= 14.
ПРИМЕР 2. Вычислить площадь части поверхности 
, вырезанной цилиндром 
.
Решение. Контуром проекции вырезанной части на плоскость xOy является лемниската 
(рис.1.5.7).
Построим общий вид пересекающихся поверхностей.
Рис. 1.5.7
Построим вырезаемую цилиндром поверхность:
Рисунок. 1.5.8
Цилиндр вырезает из параболоида два равных куска поверхности. Чтобы вычислить их общую площадь, воспользуемся формулой (*). Для нее из уравнения параболоида 
получим подынтегральную функцию 
, 
. Следовательно, 
. Преобразуем интеграл к полярным координатам 
. Подынтегральная функция запишется в виде 
, а уравнение лемнискаты – в виде 
, или .
Так как параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей xOz, yOz, то достаточно вычислить интеграл по одной четвертой части лемнискаты, расположенной в первой четверти плоскости xOz. Следовательно, пределами интегрирования будут: 
. Получим: 
, откуда 
.