Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем различать знак включения множеств 
и знак строгого включения 
;
и 
- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех 
для которых выполняется условие 
;
- множество всех натуральных чисел;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. 
;
- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, 
;
примарное число - любое число вида 
;
Пусть 
- группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента 
группы ;
- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
- множество всех простых делителей порядка группы ;
- множество всех различных простых делителей натурального числа 
;
-группа - группа , для которой 
;
-группа - группа , для которой 
;
- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- -ый коммутант группы ;
- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
- -холловская подгруппа группы ;
- силовская -подгруппа группы ;
- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. 
-холловская подгруппа группы ;
- группа всех автоморфизмов группы ;
- 
является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- 
является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной подгруппой группы ;
- подгруппа характеристична в группе , т.е. 
для любого автоморфизма 
;
- индекс подгруппы в группе ;
;
- централизатор подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
- центр группы ;
- циклическая группа порядка ;
- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если 
и 
- подгруппы группы , то:
- прямое произведение подгрупп и ;
- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
- и изоморфны.
Группа называется:
примарной, если 
;
бипримарной, если 
.
Скобки 
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется 
.
, где 
.
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в 
;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа 
группы такая, что 
нильпотентна.
разрешимой, если существует номер такой, что 
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе 
группы 
называется такая подгруппа 
из 
, что 
.
Минимальная нормальная подгруппа группы 
- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
- цоколь группы 
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
- класс всех нильпотентных групп;
- класс всех разрешимых групп;
- класс всех 
-групп;
- класс всех сверхразрешимых групп;
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть 
- некоторый класс групп и - группа, тогда:
- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых 
. Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит 
. Если 
- формация всех сверхразрешимых групп, то 
называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из 
следует, что и 
.
Класс групп 
называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что 
следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и 
состоит из всех групп , для которых 
, т.е. 
.
Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа 
группы называется -абнормальной, если 
.
Подгруппы и 
группы называются перестановочными, если 
.
Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора 
, где 
и 
, и обозначают символом 
.
Пусть - группа и 
- различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы 
, такие что 
- силовская 
-подгруппа группы и подгруппа 
нормальна в для всех 
.
Введение
В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. 
для всех подгрупп 
из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место 
, а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .
Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа 
, что выполнено следующее условие:
Таким образом, условие 
является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы 
-нормальными. В этой же работе была построена красивая теория 
-нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.
В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.
Определение. Подгруппа группы 
называется слабо квазинормальной в 
подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что 
и 
, - квазинормальные в подгруппы.
Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни 
-нормальной.
Пример. Пусть
,
где 
. И пусть 
, 
. Тогда 
и 
. Пусть 
- группа простого порядка 3 и 
, где - база регулярного сплетения 
. Поскольку 
, 
и 
- модулярная группа, то 
квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в 
. Значит, подгруппа 
является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не 
-нормальной в .
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.