Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей

Лекция 7 СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

 

Систематические погрешности и их классификация

 

Систематическая погрешность счи­тается специфической, «вырожденной» случайной величиной, об­ладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Свой­ства систематической погрешности, которые необходимо учитывать при объединении составляющих погрешности, отражаются такими же характеристиками, что и свойства "настоящих" случайных ве­личин – дисперсией (СКО) и коэффициентом взаимной корреля­ции.

Систематическая погрешность представляет собой определенную функцию влияющих факторов, состав которых зависит от физиче­ских, конструктивных и технологических особенностей СИ, усло­вий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдате­ля. В метрологической практике при оценке систематических погрешностей должно учитываться влияние следующих основных факторов:

1. Объект измерения. Перед измерением он должен быть доста­точно хорошо изучен с целью корректного выбора его модели. Чем полнее модель соответствует исследуемому объекту, тем точнее мо­гут быть получены результаты измерения. Например, кривизна зем­ной поверхности может не учитываться при измерении площади сельскохозяйственных угодий, так как она не вносит ощутимой погрешности, однако при измерении площади океанов ею пренеб­регать уже нельзя.

2. Субъект измерения. Его вклад в погрешность измерения не­обходимо уменьшать путем подбора операторов высокой квалифи­кации и соблюдения требований эргономики при разработке СИ.

3. Метод и средство измерений. Чрезвычайно важен их правиль­ный выбор, который производится на основе априорной информации об объекте измерения. Чем больше априорной информации, тем точ­нее может быть проведено измерение. Основной вклад в систематиче­скую погрешность вносит, как правило, методическая погрешность.

4. Условия измерения. Обеспечение и стабилизация нормаль­ных условий являются необходимыми требованиями для миними­зации дополнительной погрешности, которая по своей природе, как правило, является систематической.

Систематические погрешности принято классифицировать по двум признакам. По характеру изменения во времени они делятся на постоянные и переменные.

Постоянными называются такие по­грешности измерения, которые остаются неизменными в течение всей серии измерений. Например, погрешность от того, что непра­вильно установлен ноль стрелочного электроизмерительного при­бора, погрешность от постоянного дополнительного веса на чашке весов и т.д.

Переменными называются погрешности, изменяющие­ся в процессе измерения. Они делятся на монотонно изменяющие­ся, периодические и изменяющиеся по сложному закону.

Если в процессе измерения систематическая погрешность монотонно воз­растает или убывает, ее называют монотонно изменяющейся. На­пример, она имеет место при постепенном разряде батареи, питаю­щей средство измерений. Периодической называется погрешность, значение которой является периодической функцией времени. При­мером может служить погрешность, обусловленная суточными ко­лебаниями напряжения силовой питающей сети, температуры ок­ружающей среды и др. Систематические погрешности могут изменяться и по более сложному закону, обусловленному какими-либо внешними причинами.

По причинам возникновения погрешности делятся на методиче­ские, инструментальные и личные (субъективные).

Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей

 

Результаты наблюдений, полученные при наличии системати­ческой погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть дос­тигнуто следующими путями:

• устранением источников погрешностей до начала измерений. В большинстве областей измерений известны главные источники систематических погрешностей и разработаны методы, исключаю­щие их возникновение или устраняющие их влияние на результат измерения. В связи с этим в практике измерений стараются устра­нить систематические погрешности не путем обработки экспери­ментальных данных, а применением СИ, реализующих соответст­вующие методы измерений;

• определением поправок и внесением их в результат измерения;

• оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.

Постоянная систематическая погрешность не может быть най­дена методами совместной обработки результатов измерений. Од­нако она не искажает ни показатели точности измерений, характе­ризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности.

Дейст­вительно, результат одного измерения

где х_и – истинное значение измеряемой величины; Δ_i – i-я случай­ная погрешность; θ_i – i-я систематическая погрешность. После ус­реднения результатов многократных измерений получаем среднее арифметическое значение измеряемой величины

Если систематическая погрешность постоянна во всех измере­ниях, т.е. θ_i=θ, то

Таким образом, постоянная систематическая погрешность не уст­раняется при многократных измерениях.

Постоянные систематические погрешности могут быть обнару­жены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, по­лученными с помощью более высокоточных методов и средств. Ино­гда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.

Наличие существенной переменной систематической погрешно­сти искажает оценки характеристик случайной погрешности и ап­проксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.

Для устранения постоянных систематических погрешностей при­меняют следующие методы:

• Метод замещения, представляющий собой разновидность ме­тода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряе­мой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не про­исходит никаких изменений. Этот метод дает наиболее полное ре­шение задачи. Для его реализации необходимо иметь регулируе­мую меру, величина которой однородна измеряемой.

• Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной по­грешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. Например, способ взве­шивания Гаусса [3].

Пример 7.1. Измерить сопротивление с помощью одинарного моста ме­тодом противопоставления.

Сначала измеряемое сопротивление R_x уравновешивают известным со­противлением R₁ включенным в плечо сравнения моста. При этом R_х = R₁·R₃ /R₄, где R₃, R₄ – сопротивления плеч моста. Затем резисторы R_x и R₁ меняют местами и вновь уравновешивают мост, регулируя сопро­тивление резистора R₁. В этом случае R_x = R΄₁·R₃/R₄.

Из двух последних уравнений исключается отношение R₃/R₄. Тогда

• Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоян­ная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками.

Пример 7.2. Измерить ЭДС потенциометром постоянного тока, имею­щим паразитную термо–ЭДС.

При выполнении одного измерения получаем ЭДС Е₁ Затем меняем полярность измеряемой ЭДС и направление тока в потенциометре. Вновь проводим его уравновешивание – получаем значение Е₂. Если термо–ЭДС дает погрешность ΔЕ и Е₁=Е_x+ΔЕ, то Е₂=Е_x–ΔЕ. Отсюда Е_x = (Е ₁+ Е₂)/2. Сле­довательно, систематическая погрешность, обусловленная действием термо–ЭДС, устранена.

• Метод рандомизации – наиболее универсальный способ ис­ключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется раз­личными методами (приборами). Систематические погрешности ка­ждого из них для всей совокупности являются разными случайны­ми величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности вза­имно компенсируются.

Для устранения переменных и монотонно изменяющихся сис­тематических погрешностей применяют следующие приемы и ме­тоды.

• Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Ес­ли знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная система­тическая погрешность. Если последовательность знаков «+» у слу­чайных погрешностей сменяется последовательностью знаков «–» или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся система­тическая погрешность. Если группы знаков «»+ и «–» у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая система­тическая погрешность.

• Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблю­дений. На графике через построенные точки проводят плавную кри­вую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную сис­тематическую погрешность считают практически отсутствующей.

• Метод симметричных наблюдений. Рассмотрим сущность этого метода на примере измерительного преобразователя, передаточная функция которого имеет вид у = kх + у₀, где х, у – входная и выходная величины преобразователя; k – коэффициент, погреш­ность которого изменяется во времени по линейному закону; у₀ – постоянная.

Для устранения систематической погрешности трижды измеря­ется выходная величина у через равные промежутки времени Δt. При первом и третьем измерениях на вход преобразователя подает­ся сигнал х₀ от образцовой меры. В результате измерений получа­ется система уравнений:

; ;

 

Ее решение позволяет получить значение х, свободное от пере­менной систематической погрешности, обусловленной изменением коэффициента k:

Специальные статистические методы. К ним относятся спо­соб последовательных разностей, дисперсионный анализ, и др. Рас­смотрим подробнее некоторые из них.

Способ последовательных разностей (критерий Аббе). При­меняется для обнаружения изменяющейся во времени системати­ческой погрешности и состоит в следующем. Дисперсию результа­тов наблюдений можно оценить двумя способами: обычным

и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке про­ведения измерений) разностей (х_i–1 – х_i)²

Если в процессе измерений происходило смещение центра груп­пирования результатов наблюдений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, то σ²[x] дает преувеличенную оцен­ку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на σ²[x] влияют вариации . В то же время изменения центра груп­пирования весьма мало сказываются на значениях последова­тельных разностей d_i = х_i+1 – х_i поэтому смещения почти не отра­зятся на значении Q²[x].

Отношение является критерием для обнаруже­ния систематических смещений центра группирования результа­тов наблюдений. Критическая область для этого критерия (крите­рия Аббе) определяется как Р(v<v_q)=q, где q=1–Р – уровень значимости, Р – доверительная вероятность. Значения v_ч для раз­личных уровней значимости q и числа наблюдений n приведены в табл. 7.1. Если полученное значение критерия Аббе меньше v при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается перемен­ная систематическая погрешность результатов измерений.

Таблица 7.1

Значения критерия Аббе V_q.

n	Vq при q, равном	n	Vq при q, равном
0,001	0,01	0,05	0,001	0,01	0,05
	0,295 0,208 0,182 0,185 0,202 0,221 0,241 0,260 0,278	0,313 0,269 0,281 0,307 0,331 0,354 0,376 0,396 0,414	0,390 0,410 0,445 0,468 0,491 0,512 0,531 0,548 0,564		0,295 0,311 0,327 0,341 0,355 0,368 0,381 0,393	0,431 0,447 0,461 0,474 0,487 0,499 0,510 0,520	0,578 0,591 0,603 0,614 0,624 0,633 0,642 0,650

 

Пример 7.3. Используя способ после до нательных разностей, определить, присутствует ли систематическая погрешность в ряду результатов наблю­дений, приведенных во втором столбце табл. 7.2.

Таблица 7.2

Результаты наблюдений

n	xi	d1=xi+1–xi	di2		vi2
	13,4	–	–	–0,6	0,36
	13,3	–0,1	0,01	–0,7	0,49
	14,5	+1,2	1,44	+0,5	0,25
	13,8	–0,7	0,49	–0,2	0,04
	14,5	+0,7	0,49	+0,5	0,25
	14,6	+0,1	0,01	+0,6	0,36
	14,1	–0,5	0,25	+0,1	0,01
	14,3	+0,2	0,04	+0,3	0,09
	14,0	+0,3	0,09	0,0	0,0
	14,3	+0,3	0,09	+0,3	0,09
	14,2	–1,1	1,21	–0,8	0,64
Σ154,0	–0,2	4,12	0,0	2,58

 

Для приведенного ряда результатов вычисляем: среднее арифмети­ческое = 154,0/11 = 14; оценку дисперсии σ²[х] = 2,58/10 = 0,258; зна­чение Q²[х] = 4,12/(2·10) = 0,206; критерий Аббе v = 0,206/0,258 = 0,8.

Как видно из табл. 7.1, для всех уровней значимости (q = 0,001; 0,01 и 0,05) при n = 11 имеем v > v_q, т.е. подтверждается нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования. Следовательно, условия измерений для приведенного ряда оставались неизменными и систематических расхожде­ний между результатами наблюдений нет.

Дисперсионный анализ (критерий Фишера). В практике из­мерений часто бывает необходимо выяснить наличие систематиче­ской погрешности результатов наблюдений, обусловленной влияни­ем какого-либо постоянно действующего фактора, или определить, вызывают ли изменения этого фактора систематическое смещение результатов измерений. В данном случае проводят многократные измерения, состоящие из достаточного числа серий, каждая из кото­рых соответствует определенным (пусть неизвестным, но различным) значениям влияющего фактора. Влияющими факторами, по кото­рым производится объединение результатов наблюдений по сериям, могут быть внешние условия (температура, давление и т.д.), временная последовательность проведения измерений и т.п.

После проведения N измерений их разбивают на s серий (s>3) по n_j результатов наблюдений (sn_j = N) в каждой серии и затем уста­навливают, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдений в различных сериях. При этом долж­но быть установлено, что результаты в сериях распределены нор­мально. Рассеяние результатов наблюдений в пределах каждой се­рии отражает только случайные влияния, характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии.

Характеристикой совокупности случайных внутрисерийных по­грешностей будет средняя сумма дисперсий результатов наблюде­ний, вычисленных раздельно для каждой серии, т.е.

,

где , x _ji – результат i-го измерения в j-й серии.

Внутрисерийная дисперсия , характеризует случайные по­грешности измерений, так как только случайные влияния обуслов­ливают те различия (отклонения результатов наблюдений), на ко­торых она основана. В то же время рассеяние различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами наблюдений, сгруппированными по сериям. Следова­тельно, усредненная межсерийная дисперсия

где – выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.

Таким образом, характеризует долю дисперсии всех результатов наблюдений, обусловленную наличием случайных погрешностей измерений, а – долю дисперсии, обу­словленную межсерийными различиями результатов наблюдений.

Первую из них называют коэффициентом ошибки, вторую – пока­зателем дифференциации. Чем больше отношение показателя диф­ференциации к коэффициенту ошибки, тем сильнее действие фак­тора, по которому группировались серии, и тем больше систематическое различие между ними.

Критерием оценки наличия систематических погрешностей в данном случае является дисперсионный критерий Фишера . Критическая область для критерия Фишера соответ­ствует Р(F> F_q) = q.

Значения F_q для различных уровней значимости q, числа изме­рений N и числа серий s приведены в таблице в конце лекции, где k₂= N – s, k₁ = s – 1. Если полученное значение критерия Фишера больше F_q (при заданных q, N и s), то гипотеза об отсутствии систематических смещения результатов наблюдений по сериям отвергается, т.е. обна­руживается систематическая погрешность, вызываемая тем факто­ром, по которому группировались результаты наблюдений,

Пример 7.4. Было сделано 38 измерений диаметра детали восемью различ­ными штангенциркулями. Каждым из них проводились по пять измерений. Внутрисерийная дисперсия равна 0,054 мм², межсерийная — 0,2052 мм². Оп­ределить наличие систематической погрешности измерения диаметра детали.

Расчетное значение критерия Фишера F = 0,2052/0,054 = 3,8. Для s –1 = 7, N – s = 30 по табл. П1.3 приложения 1 имеем при q = 0,05 F_0,05 = 2,3 и при q = 0,01 F_0,01 = 3,3. Полученное значение F больше, чем 2,2 и 2,9. Следовательно, в результатах наблюдений обнаруживается наличие систе­матических погрешностей.

Из всех рассмотренных способов обнаружения систематических погрешностей дисперсионный анализ является наиболее эффектив­ным и достоверным, так как позволяет не только установить факт наличия погрешности, но и дает возможность проанализировать источники ее возникновения.

Критерий Вилкоксона. Если закон распределения результатов измерений неизвестен, то для обнаружения систематической по­грешности применяют статистический критерий Вилкоксона.

Из двух групп результатов измерений x₁, х₂,..., х_n и у₁,у₂,..., у_m, где n m 5 составляется вариационный ряд, в котором все n+m значений х₁, х₂,..., х_n; у₁, у₂,..., у_m располагают в порядке их возрастания и приписывают им ранги – порядковые номера членов вариационного ряда. Различие средних значений каждого из рядов можно считать допустимым, если выполняется неравенство

где R_i – ранг (номер) члена x_i равный его номеру в вариационном ряду; и – нижнее и верхнее критические значения для вы­бранного уровня значимости q. При m < 15 эти критические значе­ния определяются по табл. 7.3. При m>15 они рассчитываются по формулам:

где z_р – квантиль нор­мированной функции Лапласа.

Более полная табли­ца значений критиче­ских значений и приведена в реко­мендации МИ 2091-90 "ГСИ. Измерения физи­ческих величин. Общие требования".

Таблица №7.3

Критические значения и при q = 0,05 и 0,01

n	m	q = 0,05	q = 0,01

 

7.3 Исключение систе­матических погрешно­стей путем введения по­правок.

 

В ряде случаев систематические погреш­ности могут быть вычис­лены и исключены из ре­зультата измерения. Для этого используются по­правки.

Поправка C_j – величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения с целью исключе­ния составляющих систематической погрешности θ_j.

При – j-я составляющая систематической погрешности полностью уст­раняется из результата измерения.

Поправки определяются экс­периментально или в результате специальных теоретических ис­следований. Они задаются в виде таблиц, графиков или формул. Введением одной поправки устраняется влияние только одной составляющей систематической погрешности. Для устранения всех составляющих в результат измерения приходится вводить множе­ство поправок. При этом вследствие ограниченной точности опре­деления поправок случайные погрешности результата измерения накапливаются и его дисперсия увеличивается. Так как поправка известна с определенной точностью, то она характеризуется ста­тистически – средним значением поправки С и СКО S_С. При ис­правлении результата путем введения поправок С_j, где j = 1, 2,..., m, по формуле дисперсия исправленного результата

где S_н² – оценка дисперсии неисправленного результата; S² _cj – оценка дисперсии j-й поправки. Как видно, с одной стороны, уточ­няется результат измерения, а с другой – увеличивается разброс за счет роста дисперсии. Следовательно, необходимо найти опти­мум.

Пусть при измерении постоянной величины Q получено (рис.7.1) значение , где – оценка среднего арифме­тического неисправленного результата измерений; t_р – коэффи­циент Стьюдента.

После введения поправки С ± t_рS_с результат измерения

, где

 

Рисунок 7.1. Устранение систематической погрешности путем введения поправки.

 

Максимальные доверительные значения погрешности результа­та измерения до и после введения поправки равны соответственно

Поправку имеет смысл вводить до тех пор, пока Δ₁ < Δ₂. Отсюда следует, что

Если S_С/S << 1, то, раскладывая уравнение в степенной ряд, получим С > 0,5 S_c²/S² • Из этого неравенства видно, что если оцен­ка среднего квадратического отклонения поправки S_c→0, то по­правку имеет смысл вводить всегда.

В практических расчетах погрешность результата обычно выра­жается не более чем двумя значащими цифрами, поэтому поправка, если она меньше пяти единиц младшего разряда, следующего за последним десятичным разрядом погрешности результата, все равно будет потеряна при округлении и вводить ее не имеет смыс­ла.

Пример 7.5. Напряжение источника ЭДС U_x с внутренним сопротивлением R_i = 60±10 Ом измерено вольтметром класса точности 0,5. Сопротив­ление вольтметра R_у = 5 кОм и известно с погрешностью ±0,5%. Показа­ние вольтметра U_v = 12,35 В. Найти поправку, которую нужно внести в показание прибора для определения действительного значения напряже­ния источника ЭДС.

Показания вольтметра соответствуют падению напряжения на нем:

Относительная систематическая методическая погрешность, обусловлен­ная ограниченным значением сопротивления R_у,

Поправка равна абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком: Δ_c= 0,012–12,35 = 0,146В. Погрешность полученного значения поправки определяется погрешностью, с которой известно сопротивление R_j. Ее предельное значение составит 10/60 = 0,167. Погрешностью из-за неточно­сти оценки R_v, равной 0,005, можно пренебречь. Следовательно, погреш­ность определения поправки Δ = ±0,167-0,146 = 0,03 В.

Таким образом, поправка, которую необходимо ввести в показания вольтметра с учетом округления ΔU = +0,15 В. Тогда исправленное зна­чение = 12,35+0,15 = 12,50 В. Этот результат имеет определенную погрешность, в том числе не исключенный остаток систематической по­грешности Δ = ±0,03В или δ = ± 0,24% из-за потребления некоторой мощности вольтметром.