Задания 13-19 – с развёрнутым ответом. Полные решения записываются в Бланк ответов № 2

Пробный ЕГЭ по профильной математике 16 декабря. Вариант 1

Задания 1-12 – с кратким ответом. Ответы записываются в Бланк ответов № 1

1. Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 800 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25 %?

2. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по маршруту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в километрах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном маршруте. Ответ дайте в км/ч.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Глокая куздра кудрячит бокрёнка с вероятностью 0,8, а не глокая – с вероятностью 0,4. Из 100 куздр глоких 30. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранная куздра кудрячит бокрёнка.

5. Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

6. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 19, отсекает треугольник, периметр которого равен 39. Найдите периметр трапеции.

7. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

8. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

9. Найдите значение выражения: .

10. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому , где — мощность излучения звезды (в Ваттах), — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна м , а мощность её излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

11. Васе надо решить 140 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

12. Найдите точку минимума функ­ции .

Задания 13-19 – с развёрнутым ответом. Полные решения записываются в Бланк ответов № 2

13. а) Решите уравнение ;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14. В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины К и L рёбер AB и AD соответственно и точку М проведена плоскость . а) Докажите, что сечение пирамиды MABCD плоскостью является равносторонним треугольником; б) Найдите угол между плоскостью и ребром MB.

15. Решите неравенство .

16. В треугольнике АВС угол АВС тупой, H – точка пересечения продолжений высот, угол АHС равен 60 . a) Докажите, что угол АВС равен 120 ; б) Найдите ВH, если АВ =7, ВС =8.

17. Сергей Анатольевич решил разместить в банке 1 миллион рублей сроком на 1 год. Банк предлагает две стратегии: первая – начислять 7% годовых, если вся сумма будет на одном вкладе. Либо предлагается разбить вклад на три части. Тогда на меньшую часть будет начислено 15%, на среднюю – 10% и на большую будет начислено 5% годовых. Какую наибольшую прибыль может получить Сергей Анатольевич, если большая часть должна отличаться от меньшей части не менее чем на 100 тысяч рублей, но не более чем на 300 тысяч рублей?

18. Найдите все значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения.

19. Имеется 100 бутылок с вином, в одной из которых вино испорчено. Требуется в течение часа при помощи белых мышей обнаружить плохое вино. Если мышь выпьет плохого вина, через час она станет синей. Разрешается накапать вина из разных бутылок (но не более чем из пяти) каждой мыши, и дать им выпить одновременно. а) Достаточно ли для решения задачи 40 мышей? б) А 36? в) Какого наименьшего числа мышей достаточно для решения поставленной задачи?