Содержание
| Содержание………………………………………………………………………………………………………………………………………… | ||
| Задание на курсовую работу……………………………………………………………………………………………… | ||
| Нахождение энергетического спектра электрона в яме…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… | ||
| Нахождение волновых функций…………………………………………………………………………………………… | ||
| Расчет вероятности нахождения электрона в центральной части ямы…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… | ||
Задание на курсовую работу
Вариант №4б
Найти энергии и волновые функции первых трех стационарных состояний электрона в потенциальной яме следующего вида:
, при 
;
, при 
;
, при 
; 
Построить графики волновых функций этих состояний. Вычислить вероятность обнаружения электрона в центральной части ямы (т.е. в интервале ) для указанных состояний.
Нахождение энергетического спектра электрона в яме
Потенциальная яма симметрична относительно начала отсчета, следовательно, в дальнейшем можно рассматривать только две области:
I - 
II - 
Запишем уравнения Шредингера для областей:
ТУТ ФОРМУЛА
Запишем уравнения в приведенном виде (умножим оба уравнения на 
):
, где 
;
, где 
; для 
, где 
; для 
Рассмотрим случай при
«
«
Общее решение этих уравнений, с учетом того, что в точке 
функция должна обращаться в 0:
Граничные условия: 
, 
Вследствие симметрии потенциала, решения могут быть четные и нечетные. Рассмотрим оба случая.
1) Четные состояния 
Для четных состояний общее решение уравнений Шредингера будет в виде:
Из граничных условий следует:
Разделив одно уравнение на другое получим:
(1)
Рассмотрим величину:
Введем новую переменную 
, тогда:
?,
где 
- минимальная энергия частицы.
С учетом этих замен (1) перепишется в виде (умножив обе части уравнения на 
):
Получили трансцендентное уравнение, решение которого можно получить графически (см. рис2).
2) Нечетные состояния 
Для нечетных состояний общее решение уравнений Шредингера будет в виде:
Из граничных условий следует:
Разделив одно уравнение на другое получим:
(2)
С учетом замен (2) перепишется в виде (умножив обе части уравнения на ):
Получили трансцендентное уравнение, решение которого можно получить графически (см. рис2).
Рис.2
где 
Чтобы избежать комплексных значений 
необходимо наложить ограничение 
.
С учетом наложенных ограничений решение трансцендентных уравнений:
;
;
Для нахождения 
рассмотрим случай с 
Рассмотрим случай при
«
«
Общее решение этих уравнений, с учетом того, что в точке функция должна обращаться в 0:
Граничные условия: ,
Вследствие симметрии потенциала, решения могут быть четные и нечетные. Рассмотрим оба случая.
3) Четные состояния
Для четных состояний общее решение уравнений Шредингера будет в виде:
Из граничных условий следует:
Разделив одно уравнение на другое получим:
(3)
Рассмотрим величину:
Введем новую переменную , тогда:
,
где - минимальная энергия частицы.
С учетом этих замен (3) перепишется в виде (умножив обе части уравнения на ):
Получили трансцендентное уравнение, решение которого можно получить графически (см. рис3).
4) Нечетные состояния
Для четных состояний общее решение уравнений Шредингера будет в виде:
Из граничных условий следует:
Разделив одно уравнение на другое получим:
(4)
С учетом замен (4) перепишется в виде (умножив обе части уравнения на ):
Получили трансцендентное уравнение, решение которого можно получить графически (см. рис3).
Рис.3
где
Чтобы избежать комплексных значений 
необходимо наложить ограничение 
С учетом наложенных ограничений решение трансцендентных уравнений:
;
Для нахождения энергетического спектра воспользуемся формулой:
Подставляя полученные значения 
, получаем:
 ;
 ;
 ;
|
Записываю энергии
Допустим, что 
, тогда энергии состояния будут равны:
;
;
;