Задачи для подготовки к экзамену по курсу «Математика» 3 семестр

 

 

1. В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу 3 деталей все детали нестандартные.

 

2. В партии из 20 телефонов 3 неисправных. Какова вероятность, что из двух случайно взятых аппаратов оба будут хорошими?

 

3. Вероятность того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равна: 0,8; 0,4; 0,7. Определить вероятность, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей?

 

4. Два спортсмена должны выполнить норму мастера спорта. Вероятность того, что первый выполнит норму, равна 0,92; для второго - 0,89. Найти вероятность, что норма будет выполнена: а) обоими спортсменами; б) только одним спортсменом; в) хотя бы одним.

 

5. В группе 25 студентов, среди которых 5 отличников, 12 хорошистов, остальные троечники. Наудачу отобраны 10 студентов. Найти вероятность, что среди этих 10 человек: а) все студенты хорошисты; б) 2 отличника, 4 хорошиста и 4 троечника; в) половина хорошистов и половина троечников.

 

6. Тест состоит из 8 заданий. Для каждого задания имеется 5 варианта ответов. Найти вероятность того, что при простом угадывании будут правильно указаны ответы не менее чем в 2 заданиях.

 

7. Из колоды, состоящей из 36 игральных карт, наудачу извлекли 3 карты. Найти вероятность того, что были извлечены 2 туза и валет.

 

8. В ящике имеется 6 пар перчаток черного цвета и 4 пары перчаток бежевого цвета. Наудачу из ящика извлекли 2 перчатки. Найти вероятность того, что они образуют пару.

 

9. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,95. Найти вероятность того, что среди пяти проверенных изделий стандартных окажется не менее двух.

 

10. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46% и третей - 34%. Известно также, что средний % нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй - 2%, для третьей - 1%. Найти вероятность, что наудачу взятое изделие произведено на второй фабрике, если оно оказалось нестандартным.

 

11. В смешанном лесу лиственные деревья составляют 20%, остальные деревья хвойные. Вероятность того, что дерево сухое, составляет для лиственного дерева 2/5, для хвойного – 7/20. Случайно выбранное дерево оказалось живым, найдите вероятность того, что оно хвойное.

 

12. Детали поступают на общий конвейер от двух станков, производительности которых относятся как 3:5. Вероятности изготовления качественной детали для этих станков равны соответственно 6/7 и 4/5. Наудачу взятая деталь оказалась качественной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

 

13. Детали с трех конвейеров поступают на общий склад. Вероятности брака на первом, втором и третьем конвейерах равны 1/3, 1/5 и 2/5 соответственно. Производительности линий относятся как 5:7:4. Вычислите вероятность, с которой наугад взятая деталь будет стандартной.

 

14. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена ровно 120 раз.

15. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 85 раз в 100 испытаниях.

 

16. Вероятность получения по лотерее выигрышного билета равна 0,15. Найти вероятность того, что среди 300 купленных билетов не менее 60 и не более 80 выигрышных.

Игральную кость подбрасывают 280 раз. Какова вероятность того, что цифра 6 при этом выпадет не менее 80 и не более 100 раз?

 

17. Случайная величина Х задана рядом распределения

 

Х	-4	-1
Р	0.2	0.2	0.3	0.1	0.1	0.1

Построить функцию распределения случайной величины. Найти и .

 

18. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения .

Найти плотность распределения . Построить графики и . Вычислить . Найти .

 

19. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения

.

Найти параметр . Вычислить . Выписать интегральную функцию распределения . Построить графики и .

 

20. Случайная величина распределена нормально с параметрами . Вычислить .

 

21. Законы распределения случайных величин и имеют вид

	-3
	0,2	0,8

	0,1	0,6	0,3

 

 

Найти закон распределения случайной величины и .

 

22. В ящике имеется 5 белых и 4 черных шаров. Наудачу из ящика извлечены 4 шара. Пусть случайная величина - число белых шаров среди извлеченных. Найти: а) закон распределения ; б) ; в) ; г) функцию распределения и построить ее график; д) ; е) вероятность того, что извлечено не более 3-х белых шаров; ж) вероятность того, что извлечено менее 2-х белых шаров.

 

23. В ящике имеется 2 белых и 6 черных шаров. Наудачу из ящика извлекли 3 шара. Пусть
случайная величина X - число белых шаров среди извлеченных. Найти:

а) закон распределения X; б) М(Х).

 

24. У торгового агента имеется 4 покупателя. Агент осуществляет звонки покупателям с
предложением купить товар. Если покупатель купил товар, то агент прекращает звонки
следующим покупателям. Вероятности покупки товара 1-м, 2-м, 3-м и 4-м покупателем
одинаковые и равны 0,9. Пусть случайная величина X - число звонков, которые сделал
торговый агент. Найти: а) закон распределения случайной величины X; б)функцию
распределения F(X) и ее график.

 

25. Дискретная случайная величина может принимать два значения и , причем . Найти закон распределения случайной величины , если , , .

 

26. Плотность распределения непрерывной случайной величины определена функцией: , если и , если . Найти: а) параметр ; б) .

 

27. Плотность распределения непрерывной случайной величины определена функцией: , если и , если . Найти: а) параметр ; б) .

 

28. Известна функция распределения непрерывной случайной величины : . Найдите: плотность вероятности случайной величины, коэффициент и .

 

29. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: , . Найти вероятность того, что .

 

30. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [5;16]. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

31. Найти такое, чтобы функция была плотностью распределения случайной величины.

 

32. Размеры изделия подчинены нормальному закону с параметрами см и см. Найдите вероятность того, что измеренное значение будет отклоняться от среднего значения не более чем на 0,1 см.

 

33. В результате измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 5, 7, 4, 3, 6 мм. Определить несмещенную оценку дисперсии измерений

 

34. Для выборки объема n =100, представленной вариационным рядом, построить полигон относительных частот и гистограмму частот.

 

35. По выборке объема , найдена смещенная оценка генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии.

 

36. В таблице представлены эмпирические частоты и теоретические частоты , которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальности закона распределения генеральной совокупности.

 

37. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

 

Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

 

38. По выборке двумерной генеральной совокупности, представленной таблицей, найти выборочный коэффициент корреляции:

X Y	-3

 

39. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

 

40. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

 

41. По выборке объема двумерной генеральной совокупности, представленной таблицей

Записать выборочные уравнения прямых линий регрессий на и на . Сделать схематический чертеж.

		1,5		2,5
0,2
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2