Справочный материал к заданию

ЗАДАНИЕ 6

 

В задачах 6.1—6.20 даны уравнения а) и б) кривых второго порядка.

1) Уравнение кривой а) привести к каноническому виду и построить её. Для эллипса и гиперболы определить координаты центра, вершин, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот (для гиперболы). Для окружности найти координаты центра и радиус. Для параболы определить координаты вершины, фокуса, величину параметра, уравнение оси симметрии, уравнение директрисы.

2) Определить тип кривой второго порядка, заданной общим уравнением б), по квадратичной форме этой кривой.

Справочный материал к заданию

 

1) Линия на плоскости, которая в прямоугольной декартовой системе координат Оху определяется алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат, называется линией второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

 

Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0,

 

где А, В, С, D. E. F – действительные числа, причем А² + В² + С² > 0.

 

Если это уравнение определяет кривую, то ею может быть либо окружность, либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.

 

x

R

y

О

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Уравнение окружности радиуса R с центром

в начале координат:

 

x ² + y ² = R ²;

 

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке(x ₀; y ₀):

(x − x ₀)² + (y − y ₀)² = R ²;

 

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, равная 2 а, большая, чем расстояние между фокусами 2 с.

 

y

В 1

x

F 2

F 1

O

a

−a

b

– b

c

В 2

А 1

А 2

−c

Каноническое уравнение эллипса, большая полуось которого лежит на координатной оси x, а малая полуось- на координатной оси y:

;

 

 

точки F ₁(c; 0) и F ₂(− c; 0) – фокусы эллипса; точки A ₁(a; 0), A ₂(− a; 0), B ₁(b; 0), B ₂(− b; 0) – вершины эллипса, отрезок A ₁ A ₂ длиной 2 а – большаяось, отрезок В ₁ В ₂ длиной 2 b – малая ось эллипса; точка О (0; 0) – центр эллипса; длина отрезка F ₁ F ₂, равная 2 с = 2× , – межфокусное расстояние, эксцентриситет эллипса ε = с / а < 1 характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой оси, уравнения директрис х = ± а /e.

y

x

O

a

−a

b

– b

c

−c

Примечание. Если в уравнении эллипса

х ²/ a ² + у ²/ b ² = 1 выполняется неравенство

b ² > а ²,то фокусы эллипса лежат на оси у,

расстояние между фокусами такого эллипса

2 с = 2× , эксцентриситет ε = с / b < 1,

уравнения директрис у = ± b /e.

 

 

Уравнение определяет смещенный эллипс с центром в точке С( ,оси симметрии которого параллельны координатным

осям Ох и Оу.

Гипербола – множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, равная 2 а, меньшая, чем расстояние между фокусами 2 с.

 

Каноническое равнение гиперболы, действительная ось которой расположена на координатной оси x, а мнимая ось- на координатной оси y:

−a

a

−b

b

O

А 1

А 2

F 1

F 2

−c

c

B 1

B 2

y

x

;

 

−a

a

−b

b

O

−c

c

y

x

точки F ₁(c; 0) и F ₂(−c; 0) – фокусы гиперболы, точки A ₁(a; 0), A ₂(− a; 0), – вершины гиперболы, точка О (0; 0) – центр гиперболы,отрезок A ₁ A ₂ длиной 2 a – действительная ось, отрезок В ₁ В ₂ длиной2 b – мнимая ось гиперболы, длина отрезка F ₁ F ₂, равная 2 с, – межфокусное расстояние, 2 c = 2× , прямые y = × х, y = – × х − асимптоты гиперболы, эксцентриситет гиперболы ε = с / а >1, уравнения директрис х = ± а /e.

Примечание. Если уравнение гипербо-

лы имеет вид – х ²/ a ² + у ²/ b ² = 1, то ее фо-

кусы лежат на оси у, расстояние между фо-

кусами такой гиперболы 2 с = 2× ,

эксцентриситет ε = с / b > 1, уравнения ди-

ректрис у = ± b /e, уравнения асимптот

у = ± bx / a.

 

O

x

y

Уравнение гиперболы, асимптотами которой являются координатные оси x и y имеет вид:

y = , где k ≠ 0

(на рисунке приведена гипербола для случая k > 0).

 

 

Уравнение определяет смещенную гиперболу с центром в точке С( ,оси симметрии которой параллельны координатным осям Ох и Оу.

Парабола − множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы параболы).

 

y

F

p/ 2

− p/ 2

О

x

Каноническое уравнение параболы:

 

y ²= 2 px,

(задание соответствующей параболы в явном виде:

x = y ² / 2 p), где p – фокальный параметр параболы;

точка О (0; 0) – вершина параболы; точка F (p/ 2; 0)

– фокус параболы; прямая x = − p/ 2 – директриса

(фокальный параметр р равен расстоянию от фоку-

са до директрисы, p > 0); ось абсцисс – ось парабо-

лы.

Если ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат - с вершиной, и парабола лежит в левой полуплоскости, то ее уравнение будет

иметь вид у² = - 2рх.
Если вершина находится в начале координат, а ось параболы совмещена с осью ординат, парабола будет иметь уравнение х² = 2ру, если её ветви лежат в верхней полуплоскости, и х² = -2ру, если её ветви расположены в нижней полуплоскости.

Уравнения смещенных парабол с вершиной в точке С(хо,уо) имеют соответственно вид:
(у—у₀)² =2р(х—х₀), (у—у₀)² =—2р(х—х₀),

O

x 1

x 2

A

x

y

(х — х₀)² = 2(у — у₀), (х — х₀)² = —2(у — у₀).

Уравнениепараболы со смещенными вершиной и вертикальной осью:

y = ax ²+ bx + c,

где a ≠ 0, b и с − действительные числа (на

рисунке приведена парабола для случая a > 0);

точка A (x ₀; y ₀) − вершина параболы: x ₀ = – ,

y ₀= – (D = b ² − 4 ac − дискриминант квадрат-

ного уравнения ax ² + bx + c = 0). Если парабола

пересекает ось абсцисс в точках x ₁ и x ₂ (x ₁ и x ₂ − корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0), то y = ax ² + bx + c = a (x − x ₁)×(x − x ₂). Если точка вершины А лежит на оси абсцисс (парабола касается оси абсцисс) в точке (x ₀; 0), то y = ax ² + bx + c = a (x − x ₀)².

Директриса кривой второго порядка (кроме окружности)– прямая, расстояние между которой и любой точкой M кривой второго порядка пропорционально расстоянию между точкой M и соответствующим фокусом этой кривой.

Примечание. Директриса и соответствующий ей фокус для эллипса и гиперболы лежат по одну сторону от центра этих кривых; у эллипса и гиперболы по две директрисы.

Эксцентриситет кривой второго порядка (кроме окружности) – отношение расстояния r от точки M до фокуса кривой второго порядка к расстоянию d от точки M до соответствующей этому фокусу директрисы, т.е. эксцентриситет ε= r/d. Для эллипса ε = r/d = c/a < 1; для гиперболы ε = r/d = c/a > 1; для параболы ε = r/d = 1.

F 2

x

F 1

М 2

М 1

d 2

O

r 1

r 2

d 1

y

Примечание: задание директрисы и соответствующего ей фокуса полностью определяет все параметры и расположение эллипса, гиперболы и параболы (для точек на ветвях гиперболы, чтобы не перегружать рисунок, указаны расстояния r и d только до фокуса F ₁).

 

 

О

y

F

p/ 2

− p/ 2

x

M

d

r

M 1¢

O

F 1

F 2

y

x

d 1

M 1

d 1¢

r 1

r 1¢

 

2)Для определения типа кривой второго порядка, заданной общим уравнением Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0, рассмотрим два определителя:

 

δ Δ= и воспользуемся следующей таблицей

 

	∆≠0	∆=0
δ>0	Эллипс (действительный или мнимый)	Мнимые прямые, пересекающиеся в вещественной точке
δ=0	Парабола	Параллельные прямые (действительные, мнимые или слившиеся)
δ<0	Гипербола	Действительные пересекающиеся прямые