ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ





СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………4

1. Внутренние усилия и напряжения в сечении …….5

2. Определение положения нейтральной линии…….6

3. Расчеты на прочность …………………………….. 7

4. Построения ядра сечения………………………….. 9

5. Пример расчета ……………………………………10

6. Литература …………………………………………17

7. Вопросы для самоконтроля ………………… ……18

8. Расчетно-графическая работа « Расчет жесткого бруса на внецентренное сжатие» ……………….18

Приложение № 1 …………………………………… 20

Приложение № 2 …………………………………… 24


ВВЕДЕНИЕ

Сложное сопротивление, при котором прямолиней-ный жесткий брус (рис.1) сжат или растянут силой, направленной параллельно его оси и не проходящей через центр тяжести сечения, называется внецентренном сжатием или внецентренном растяжением.

 
 


Рис.1. Схема приложения нагрузки

В том случае, когда на брус действуют несколько параллельных сил, то при расчетах будет рассматриваться их равнодействующая.

При внецентренном приложении нагрузки в попереч-ных сечениях элементов возникают продольная сила N и изгибающие моменты относительно осейy и z MY и MZ .

Так как такие элементы конструкций как колонны, мостовые опоры или фундаменты сооружений обычно подвержены действию сжимающих сил, то ограничимся рассмотрением случая внецентренного сжатия.

Проанализируем, какие внутренние усилия и напряжения могут возникать в рассматриваемом нормальном поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии.

 

 

Внутренние усилия и напряжения в сечении

На рис. 2 показана расчетная схема бруса с прямо-линейной осью хс , к которому в точке DF с координатами zF и yF приложена сжимающая сила F.

 

 

 
 
Рис. 2. Схема приложения нагрузки к брусу

 


Оси ус и zc – главные центральные оси сечения (главные оси инерции). Для определения напряжение в точке В поперечного сечения, площадь которого обозна-чена символом А, необходимо знать величину и знак внутренних усилий, действующих в этом сечении. Внутренние усилия определяются по следующим формулам:

N = – F, MY = – F × zF , MZ = – F × yF . (1)

В приведенных формулах знак изгибающего момента определяется по следующему принципу: положительный изгибающий момент должен вызывать растяжение волокон с положительными координатами в выбранной системе отсчета, а отрицательный момент должен вызывать сжатие этих волокон.

Нормальные напряжения в точке В:

(2)

В этой формуле знак внутренних усилий принимается в соответствии с (1), а координаты точки В zВ и yВ вводятся со своими знаками.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Так как нейтральная (нулевая) линия отделяет сжатую зону сечения от растянутой, то нормальные напряжения в точках, лежащих на нейтральной линии равны 0:

(3)

Подставляя в уравнение (3) значения внутренних усилий и квадраты радиусов инерции сечения относительно главных осей вместо осевых моментов инерции, получаем следующее выражение:

(4)

В выражении (4) , – квадраты радиусов инерции сечения относительно главных центральных осей. Так как отношение F/A ¹ 0, то

(5)

Уравнение (5) – уравнение нейтральной линии, которым удобнее пользоваться, приведя его к уравнению в отрезках:

(6)

Здесь aZ и aY – отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях, определяемые по формулам:

, (7)

Для построения нейтральной линии рассчитываются отрезки az и ay, в масштабе откладываются от начала координат и нейтральная линия проводится через концы этих отрезков. Координаты полюса zF и yF должны вводится в расчет с учетом правила знаков.

 

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

При внецентренном сжатии нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону пропорцио-нально расстоянию от нейтральной линии. На рис. 3 пока-зан полюс (точка Б, в которой приложена сжимающая сила F) и положение нейтральной линии сечения.

 


 

Наиболее удалены от нейтральной линии точка 1 c координатами z1 и y1 и точка 3, координаты которой z3 и y3. В этих точках возникают экстремальные напряжения: наибольшие сжимающие в т. 1, а наибольшие растягиваю-щие в т. 3. Величина напряжений в этих точках определя-ется в соответствии с (2):

.

Условия прочности для рассматриваемой схемы: s1 ≤ Rсж и s3 ≤ Rраст. Используя уравнение (4), можно записать условия прочности в следующем виде:

(8)

(9)

В эти уравнения координаты полюса и точек, в которых определяются напряжения, подставляются с учетом их знаков.

Условия (8) и (9) позволяют решать следующие три типа задач при внецентренном приложении нагрузки:

А. Проектная задача

Задано значение силы F, расчетные сопротивления материала бруса Rсж и Rраст, координаты полюса и точек сечения, в которых действуют экстремальные напряжения. Требуется рассчитать размеры поперечного сечения. Для выполнения поставленной задачи все геометрические характеристики (А, IZ, IY) выражаются через один параметр – или высоту, или ширину сечения. Из двух значений площади, вычисленной по формулам (8) и (9), за искомую следует принять большую.

Б. Определение несущей способности

Задано: расчетные сопротивления материала бруса Rсж и Rраст, геометрические характеристики сечения А, IZ, IY, координаты полюса и тех точек, в которых действуют экстремальные напряжения. Требуется определить предельное значение сжимающей силы F. Из двух полученных значений силы F, за искомое принимается наименьшее.

В. Проверочная задача

Задано: геометрические характеристики сечения А, IZ, IY, координаты полюса и точек, в которых действуют экстремальные напряжения, расчетные сопротивления материала бруса Rсж и Rраст, значение силы F. Требуется проверить выполнение условий (8) и (9).

 

ПОСТРОЕНИЕ ЯДРА СЕЧЕНИЯ

В зависимости от точки приложения внешней сжимающей нагрузки к брусу, нейтральная линия может пересекать сечение, касаться его или проходить вне сечения. Эти варианты показаны на рис. 4.

При внецентренном приложении нагрузки к брусу, выполненному из таких хрупких материалов, как бетон, кирпичная или бутовая кладка, возникает задача о том, как приложить сжимающую силу F, чтобы в поперечном сечении возникали только сжимающие напряжения. Решение этой задачи производится путем построения ядра сечения.

 
 

 


Ядром сечения называется очерченная вокруг центра тяжести сечения область, обладающая следующим свойством: сила F, приложенная в этой области, вызовет по всему поперечному сечению напряжения одного знака.

Контур ядра сечения строится в следующей последовательности:

- проводятся несколько касательных вокруг контура сечения, которые принимаются за нейтральные линии;

- определяются аz и ay – отрезки, которые нейтраль-ные линии отсекают на осях zc и yc;

- используя зависимости (7), определяются координа-ты характерных точек ядра сечения:

yя = ; zя =

- по найденным точкам yя и zя строится контур ядра сечения.

ПРИМЕР РАСЧЕТА

На рис. 5 показана схема жесткого бруса и прило-женная к нему нагрузка.

Для поперечного сечения, расположенного в основании бруса, требуется: определить величину предельной силы F, приложенной в указанной точке, определить положение нейтральной линии, рассчитать напряжения в характерных точках контура, построить эпюру этих напряжений и построить ядро сечения.

Расчетные сопротивления материала бруса:

Rсж = 8 МПа, а Rраст = 2 МПа. Параметр «a» показанного на рис. 6 сечения равен 0,2м.

Последовательность расчета следующая.

1. Определение координат центра тяжести сечения

Для этого поперечное сечение сложной формы разбивается на простые фигуры, площади и положения центров тяжести которых известно. В рассматриваемом примере сечение разбито два прямоугольника и два одинаковых треугольника. Один прямоугольник площадью А1 = 12а2, второй площадью А2 = 2а2; площадь каждого треугольника А3 =2а2.

 

 


Статический момент площади сечения относительно произвольной начальной оси Z0:

SZ0 = A1×y1 – A2 ×y2 + 2A3 ×y3

SZ0 = 12a2 × 2a – 2a2 × a + 2(2a2 × 8a / 3) = 32,67a3.

 

 

Расстояние уС от оси Z0 до оси ZС

уС = SZ0 / SАi = 32,67a3 / 14a2 = 2,33a

2. Вычисление квадратов радиусов инерции

Квадраты радиусов инерции сечения рассчитываются по формулам: iz2 = IZC /A, iy2 = IYC /A, где

IZC = IZ1 + А1 × b12 – (IZ2 + А2 × b22) + 2(IZ3 + А3 × b32)

IYC = IY1 – IY2 + 2(IY3 + А3 × d32).

Здесь b1 = YC - Y1; b2 = YC - Y2; b3 = Y3 - YС;

d3 = 11а /6;

Подстановка этих значений в выражения

главных моментов инерции дает следующие

результаты:

IZC = 17,111а4; IYC = 22,500а4.

Квадраты радиусов инерции сечения:

iz2 = 17,111a4/14a2 = 1,222a2 = 0,0489м2;

iy2 = 22,5a4/14a2 = 1,607a2 = 0,0643м2.

3. Определение положения нейтральной линии

Координаты точки приложения сжимающей силы F (координаты полюса): zF = - 2,5a; yF = 1,67a

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на коорди-натных осях: аz = - iy2/zF, аy = - iz2/yF.

аz = - iy2/zF = -1,607a2/(-2,5a) = 0,643a = 0,129м;

аy = - iz2/yF = -1,222a2/1,67a = - 0,732a = - 0,146м.

4. Определение предельного значения

сжимающей силы

Наиболее удалены от нейтральной линии следующие точки:

- в сжатой зоне точка 1, координаты которой z1 = - 2,5a, y1 = 1,67a;

- в растянутой зоне – точка 3 с координатами z3 =1,5a, y3 = - 2,33a.

 

YC

 
 

 


Для этих точек должны соблюдаться условия прочности – напряжения в них не должны превышать расчетных сопротивлений материала:

 

(*)

(**)

Из выражения (*) предельная величина сжимающей силы Fпр, приложенной в т.1:

Подставляя числовые значения величин, входящих в это неравенство (с учетом знака Rсж), получим:

Из выражения (**) вычисляется значение Fпр:

Из этих двух полученных значений Fпр за расчетное принимается наименьшее (по модулю) Fпр = 0,218 МН.

5. Определение напряжений в сечении бруса

Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле:

(10)

Подставляя в эту формулу значения N = (–)Fпр и координаты характерных контурных точек, вычисляют действующие в них напряжения.

В табл.1 показаны координаты характерных точек сечения и даны результаты выполненных расчетов по определению напряжений в этих точках.

Для построения эпюры, показывающей распределение нормальных напряжений по поперечному сечению бруса, сечение удобно показывать в изометрической проекции. Эпюра s приведена на рис. 9.

 

 


Таблица 1

№ точек контура Координаты точек Напряжения s, МПа
zi yi
-2,5а (-0,5м) 1,67а (0,334м) - 3,18
2,5а (0,5м) 1,67а (0,334м) + 0,27
1,5а (0,3м) -2,33а (-0,466м) + 2,00
0,5а (0,1м) -2,33а (-0,466м) + 1,31
0,5а (0,1м) -0,33а (-0,066м) + 0,10
-0,5а (-0,1м) -0,33а (-0,066м) - 0,59
-0,5а (-0,1м) -2,33а (-0,466м) + 0,62
-1,5а (-0,3м) -2,33а (-0,466м) - 0,07

 
 


6. Построение ядра сечения

Для построения ядра сечения проводятся четыре касательные к контуру сечения, которые рассматриваются как нулевые линии и определяются отрезки, отсекаемые касательными (нулевыми линиями) на главных центральных осях инерции.

Касательная I-I: az = ¥, ay =1,67a

Касательная II-II: az = ¥, ay = -2,33a

Касательная III-III: az =1,58а, ay = -8,33a

Касательная IV-IV: az = -1,58а, ay = -8,33a

Зная величину отрезков, отсекаемых нулевыми линиями на координатных осях, определяются координаты ядра сечения:

На рис.8 показаны нулевые линии и построено ядро сечения.

 

 

 

Результаты определения характерных точек ядра сечения обычно выполняются в табличном виде. Итоги выполненных расчетов приводятся в табл. 2, в которой даны координаты характерных точек ядра сечения.

Соединяя точки ядра 1-3-2-4 прямыми линиями, получаем контур ядра сечения.

Таблица 2

Нулевая линия Отрезки, отсекаемые на координатных осях № точек ядра Координаты точек ядра
аz аy yя zя
I-I ¥ 1,67a (0,334см) - 0,73а (- 0,146м)
II-II ¥ -2,33а (-0,466м) 0,52а (0,105м)
III-III 2,08а (0,416м) -8,33а (-1,666м) 0,15а (0,029м) -0,77а (-0,155м)
IV-IV -2,08а (-0,416м) -8,33а (-1,666м) 0,15а (0,029м) 0,77а (0,155м)

 

ЛИТЕРАТУРА

1.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов.– 2-е изд. – М.: Высш. шк., 2001. -560с.

2. Сопротивление материалов с основами теории упру-гости и пластичности: Учеб. для вузов под ред. Г.С. Варда-няна. – М.: Изд-во АСВ, 1995. -568с.

3. Павлов П.А., Паршин Л.К., Мельников Б.Е., Шерсте-нев И.А. Сопротивление материалов: Учеб. пособ./под ред. Б.Е. Мельникова – СПб.: Изд-во «Лань», 2003. -528с.

4. Сопротивление материалов: Руководство для реше-ния задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ / В.А. Копнов, С.Н. Кривошапко. – М.: Высш. шк., 2003. – 351с.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как определяются внутренние усилия в сечениях жесткого бруса при внецентренном действии нагрузки?

2. Как определяется положение нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии или растяжении?

3. Указать, какой из перечисленных факторов повлияет на положение нейтральной линии:

- изменение величины приложенной внешней силы;

- изменение точки приложения этой силы;

- изменениие знака приложенной внешней силы.

4. Как определяется напряжение в заданной точке сечения при внецентренном действии нагрузки?

5. Что называется ядром сечения? Как строится ядро?

6. Какие типы задач позволяет решить условие прочнос-ти при внецентренном приложении нагрузки?

 

 





Читайте также:
Тест мотивационная готовность к школьному обучению Л.А. Венгера: Выявление уровня сформированности внутренней...
Средневековье: основные этапы и закономерности развития: Эпоху Античности в Европе сменяет Средневековье. С чем связано...
Жанры народного творчества: Эпохи, люди, их культуры неповторимы. Каждая из них имеет...
Восстановление элементов благоустройства после завершения земляных работ: Края асфальтового покрытия перед его восстановлением должны...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.034 с.